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指變數的頻數或頻率呈中間最多,兩端逐漸對稱地減少,表現為鐘形的一種概率分佈。

null正態分佈
正態分佈
normal distribution

1 正態分佈 -什麼是正態分佈

正態分佈的由來

正態分佈是一種概率分佈。正態分佈是具有兩個參數μ和σ2的連續型隨機變數的分佈,第一參數μ是遵從正態分佈的隨機變數的均值,第二個參數σ2是此隨機變數的方差,所以正態分佈記作N(μ,σ2 )。遵從正態分佈的隨機變數的概率規律為取 μ鄰近的值的概率大 ,而取離μ越遠的值的概率越小;σ越小,分佈越集中在μ附近,σ越大,分佈越分散。正態分佈的密度函數的特點是:關於μ對稱,在μ處達到最大值,在正(負)無窮遠處取值為0,在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低 ,圖像是一條位於x 軸上方的鐘形曲線。當μ=0,σ2 =1時,稱為標準正態分佈,記為N(0,1)。μ維隨機向量具有類似的概率規律時,稱此隨機向量遵從多維正態分佈。多元正態分佈有很好的性質,例如,多元正態分佈的邊緣分佈仍為正態分佈,它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分佈,特別它的線性組合為一元正態分佈。

正態曲線及其性質
正態曲線及其性質正態曲線及其性質




 

標準正態曲線

標準正態曲線N(0,1)是一種特殊的正態分佈曲線,以及標準正態總體在任一區間(a,b)內取值概率 。

一般正態分佈與標準正態分佈的轉化

由於一般的正態總體 其圖像不一定關於y軸對稱,對於任一正態總體 ,其取值小於x的概率 。只要會用它求正態總體 在某個特定區間的概率即可。

「小概率事件」和假設檢驗的基本思想

「小概率事件」通常指發生的概率小於5%的事件,認為在一次試驗中該事件是幾乎不可能發生的。這種認識便是進行推斷的出發點。關於這一點我們要有以下兩個方面的認識:一是這裡的「幾乎不可能發生」是針對「一次試驗」來說的,因為試驗次數多了,該事件當然是很可能發生的;二是當我們運用「小概率事件幾乎不可能發生的原理」進行推斷時,我們也有5%的犯錯誤的可能。

2 正態分佈 -正態曲線下面積的分佈規律

•正態曲線下面積的意義:正態曲線下一定區間內的面積代表變數值落在該區間的概率。整個曲線下的面積為1,代表總概率為1。

•曲線下面積的求法:定積分法和標準正態分佈法

3 正態分佈 -正態分佈曲線下的面積

•μ±σ範圍內的面積為68.27%

•μ±1.96σ範圍內的面積為95%

•μ±2.58σ範圍內的面積佔99%

4 正態分佈 -正態分佈的發展

正態分佈是最重要的一種概率分佈。正態分佈概念是由德國的數學家和天文學家Moivre於1733年受次提出的,但由於德國數學家Gauss率先將其應用於天文學家研究,故正態分佈又叫高斯分佈,高斯這項工作對後世的影響極大,他使正態分佈同時有了「高斯分佈」的名稱,後世之所以多將最小二乘法的發明權歸之於他,也是出於這一工作。高斯是一個偉大的數學家,重要的貢獻不勝枚舉。但現今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票,其上還印有正態分佈的密度曲線。這傳達了一種想法:在高斯的一切科學貢獻中,其對人類文明影響最大者,就是這一項。在高斯剛作出這個發現之初,也許人們還只能從其理論的簡化上來評價其優越性,其全部影響還不能充分看出來。這要到20世紀正態小樣本理論充分發展起來以後。拉普拉斯很快得知高斯的工作,並馬上將其與他發現的中心極限定理聯繫起來,為此,他在即將發表的一篇文章(發表於1810年)上加上了一點補充,指出如若誤差可看成許多量的疊加,根據他的中心極限定理,誤差理應有高斯分佈。這是歷史上第一次提到所謂「元誤差學說」——誤差是由大量的、由種種原因產生的元誤差疊加而成。後來到1837年,海根(G.Hagen)在一篇論文中正式提出了這個學說。

  其實,他提出的形式有相當大的局限性:海根把誤差設想成個數很多的、獨立同分佈的「元誤差」 之和,每隻取兩值,其概率都是1/2,由此出發,按狄莫佛的中心極限定理,立即就得出誤差(近似地)服從正態分佈。拉普拉斯所指出的這一點有重大的意義,在於他給誤差的正態理論一個更自然合理、更令人信服的解釋。因為,高斯的說法有一點循環論證的氣味:由於算術平均是優良的,推出誤差必須服從正態分佈;反過來,由后一結論又推出算術平均及最小二乘估計的優良性,故必須認定這二者之一(算術平均的優良性,誤差的正態性) 為出發點。但算術平均到底並沒有自行成立的理由,以它作為理論中一個預設的出發點,終覺有其不足之處。拉普拉斯的理論把這斷裂的一環連接起來,使之成為一個和諧的整體,實有著極重大的意義。

5 正態分佈 -正態分佈的主要特徵

  1、集中性:正態曲線的高峰位於正中央,即均數所在的位置。

  2、對稱性:正態曲線以均數為中心,左右對稱,曲線兩端永遠不與橫軸相交。

  3、均勻變動性:正態曲線由均數所在處開始,分別向左右兩側逐漸均勻下降。

  4、正態分佈有兩個參數,即均數μ和標準差σ,可記作N(μ,σ):均數μ決定正態曲線的中心位置;標準差σ決定正態曲線的陡峭或扁平程度。σ越小,曲線越陡峭;σ越大,曲線越扁平。

  5、u變換:為了便於描述和應用,常將正態變數作數據轉換。

6 正態分佈 -正態分佈的應用

1.估計正態分佈資料的頻數分佈

例1.某地1993年抽樣調查了100名18歲男大學生身高(cm),其均數=172.70cm,標準差s=4.01cm,①估計該地18歲男大學生身高在168cm以下者占該地18歲男大學生總數的百分數;②分別求、、範圍內18歲男大學生占該地18歲男大學生總數的實際百分數,並與理論百分數比較。

本例,μ、σ未知但樣本含量n較大,按式(3.1)用樣本均數和標準差S分別代替μ和σ,求得u值,u=(168-172.70)/4.01=-1.17。查附表標準正態曲線下的面積,在表的左側找到-1.1,表的上方找到0.07,兩者相交處為0.1210=12.10%。該地18歲男大學生身高在168cm以下者,約佔總數12.10%。其它計算結果見表3.1。

表:1100名18歲男大學生身高的實際分佈與理論分佈

null正態分佈
2.制定醫學參考值範圍

亦稱醫學正常值範圍。它是指所謂「正常人」的解剖、生理、生化等指標的波動範圍。制定正常值範圍時,首先要確定一批樣本含量足夠大的 「正常人」,所謂「正常人」不是指「健康人」,而是指排除了影響所研究指標的疾病和有關因素的同質人群;其次需根據研究目的和使用要求選定適當的百分界值,如80%,90%,95%和99%,常用95%;根據指標的實際用途確定單側或雙側界值,如白細胞計數過高過低皆屬不正常須確定雙側界值,又如肝功中轉氨酶過高屬不正常須確定單側上界,肺活量過低屬不正常須確定單側下界。另外,還要根據資料的分佈特點,選用恰當的計算方法。常用方法有:

(1)正態分佈法:適用於正態或近似正態分佈的資料。

  雙側界值:單側上界或單側下界:

  (2)對數正態分佈法:適用於對數正態分佈資料。

  雙側界值:單側上界或單側下:。

  常用u值可根據要求由表3.2查出。

  (3)百分位數法:常用於偏態分佈資料以及資料中一端或兩端無確切數值的資料。

  雙側界值:P2.5和P97.5;單側上界P95,或單側下界:P5。

  表:常用u值表

null正態分佈
3.正態分佈是許多統計方法的理論基礎

如t分佈、F分佈、分佈都是在正態分佈的基礎上推導出來的,u檢驗也是以正態分佈為基礎的。此外,t分佈、二項分佈、Poisson分佈的極限為正態分佈,在一定條件下,可以按正態分佈原理來處理。

4. 正態分佈是概率論中最重要的分佈

正態分佈有極其廣泛的實際背景,生產與科學實驗中很多隨機變數的概率分佈都可以近似地用正態分佈來描述。例如,在生產條件不變的情況下,產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標;同一種生物體的身長、體重等指標;同一種種子的重量;測量同一物體的誤差;彈著點沿某一方向的偏差;某個地區的年降水量;以及理想氣體分子的速度分量,等等。一般來說,如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果,那麼就可以認為這個量具有正態分佈(見中心極限定理)。從理論上看,正態分佈具有很多良好的性質 ,許多概率分佈可以用它來近似;還有一些常用的概率分佈是由它直接導出的,例如對數正態分佈、t分佈、F分佈等。
正態分佈論(正態哲學)的主要內涵:
在聯繫自然、社會和思維的實踐背景下,我們以正態分佈的本質為基礎,以正態分佈曲線及面積分布圖為表徵(以後談及正態分佈及正態分佈論就要浮現此圖),進行抽象與提升,抓住其中的主要哲學內涵,歸納正態分佈論(正態哲學)的主要內涵如下:
正態分佈整體論(靜態)
正態分佈啟示我們,要用整體的觀點來看事物。「系統的整體觀念或總體觀念是系統概念的精髓。」 正態分佈曲線及面積分布圖由基區、負區、正區三個區組成,各區比重不一樣。用整體來看事物才能看清楚事物的本來面貌,才能得出事物的根本特性。不能只見樹木不見森林,也不能以偏概全。此外整體大於部分之和,在分析各部分、各層次的基礎上,還要從整體看事物,這是因為整體有不同於各部分的特點。用整體觀來看世界,就是要立足在基區,放眼負區和正區。要看到主要方面,還要看到次要方面,既要看到積極的方面還要看到事物消極的一面,看到事物前進的一面還要看到落後的一面。片面看事物必然看到的是偏態或者是變態的事物,不是真實的事物本身。
正態分佈重點論
正態分佈曲線及面積分布圖非常清晰的展示了重點,那就是基區佔68.27%,是主體,要重點抓,此外95%,99%則展示了正態的全面性。認識世界和改造世界一定要住住重點,因為重點就是事物的主要矛盾,它對事物的發展起主要的、支配性的作用。抓住了重點才能一舉其綱,萬目皆張。事物和現象紛繁複雜,在千頭萬緒中不抓住主要矛盾,就會陷入無限瑣碎之中。由於我們時間和精力的相對有限性,出於效率的追求,我們更應該抓住重點。在正態分佈中,基區佔了主體和重點。如果我們結合20/80法則,我們更可以大膽的把正區也可以看做是重點。
正態分佈發展論(動態)
聯繫和發展是事物發展變化的基本規律。任何事物都有其產生、發展和滅亡的歷史,如果我們把正態分佈看做是任何一個系統或者事物的發展過程的話,我們明顯的看到這個過程經歷著從負區到基區再到正區的過程。無論是自然、社會還是人類的思維都明顯的遵循這這樣一個過程。準確的把握事物或者事件所處的歷史過程和階段極大的有助於掌握我們對事物、事件的特徵和性質,是我們分析問題,採取對策和解決問題的重要基礎和依據。發展的階段不同,性質和特徵也不同,分析和解決問題的辦法要與此相適應,這就是具體問題具體分析,也是解放思想、實事求是、與時俱樂進的精髓。正態發展的特點還啟示我們,事物發展大都是漸進的和累積的,走漸進發展的道路是事物發展的常態。例如,遺傳是常態,變異是非常態。
總之,正態分佈論是科學的世界觀,也是科學的方法論,是我們認識和改造世界的最重要和最根本的工具之一,對我們的理論和實踐有重要的指導意義。以正態哲學認識世界,能更好的認識和把握世界的本質和規律,以正態哲學來改造世界,能更好的在尊重和利用客觀規律,更有效的改造世界。

7 正態分佈 -人格

人格(personality)或稱個性,是用來描述個體心理差異的,指個體總的精神面貌,是人體心理特徵的總和。由於人格差異,個體在各種不同的環境中表現出各自不同的穩定而持久的行為模式。或者說,人格給個體的行為打上了獨特的烙印。人格包含性格、氣質、能力、興趣、愛好等成分。其中性格為表現在人的態度和行為方面的特徵,主要由於後天學習和生活鍛煉而形成的,是人格重要組成部分。氣質俗稱「脾氣」,主要指由於先天遺傳,加上後天影響,形成一般較小的特徵,如情緒體驗的快慢、強弱以及動作反應的敏感遲鈍,就屬於氣質範疇。它不能決定人格特徵的內容,只能使人的人格帶上一定的色彩。
了解個體的人格特徵,不但可以預測個體在特殊情況下的行為反應,而且,不同的人格可能表現出不同的患病傾向。例如,近代研究表明,A型行為與冠心病明顯相關,被認為是易患冠心病的危險因素。在精神病學臨床上,病人的人格不僅決定了他患病後的行為,而且為某種精神疾病的發生準備了基礎。例如,強迫症病人常有某種焦慮、刻板、固執、自信不足的精神衰弱人格,癔症病人常有情感不穩、易受暗示、自我中心的表演性格。有時,人格所表現的獨特行為方式可能和精神疾病混淆起來,導致論斷錯誤。
人格的差異有不同的程度。有些人的人格較為健全,在面對應激性事件時,依然能夠很好應對。有些人的人格較為脆弱,在應激性事件作用下,易於發生神經症性障礙。對於細小的事情總是憂慮的人,在困難的情境中更容易產生焦慮障礙,而相同的情境對其他人卻沒有這種影響。如果人格更為脆弱,那麼,異常行為可能在沒有應激性事件的情況下出現。有時,這種異常行為表現非常明顯,以致難以判斷這些行為是由於人格還是由於精神疾病所致。(注A型行為:美國心臟病醫生梅伊&弗瑞德曼在診室里接待了一位來傢具的修傢具商。傢具商說他一定是接待了許多焦慮不安的人,醫生問他為什麼?他說辦公室里沙發和椅子的手柄磨損得特別快,這表明醫生的許多病人坐下以後都必定是焦慮不安地握住扶手。根據這一靈感,弗瑞德曼和他的同事瑞.羅森曼開始了他們的研究工作,最後形成了A型行為類型的理論。
在現實生活中,有這麼一種人,做一件事總想一下子幹完,不幹完不踏實。他總覺得時間緊張,不夠用;走起路來風風火火,上樓梯也是三步並兩步;坐公共汽車,遇到交通擁擠車開得慢,他坐立不安,恨不得把司機換下來,自己開;若要排長隊買東西,他寧可不買;做工作總要盡善盡美,比別人好,讓領導說不出什麼;也不喜歡別人插手的工作,總覺得不如自己幹得好;他有很強的競爭欲,也有很強的嫉妒心,人際關係也比較緊張。這種行為方式被稱為:「A 型行為」。與之相對的行為方式則被稱為 「B型行為」。
弗瑞德曼和羅森曼通過近十年的研究,發現A型行為被試者冠心病的發病率是B型被試者發病率的2倍以上。
A型行為類型並不是一種單一的心理素質和行為表現方式,而是包含了以人格為基礎 的行為,性格和情感元素的一個複合因素群或行為群。是不同的人格由相應的競爭和挑戰性環境塑造的一整套的外顯行為,是介於典型的A型行為到典型的非A型行為之間的行為連續體。目前把行為類型分為五型:A、mA、M、mB、B。A型是A型行為人的極端型,有強烈的進取心和競爭欲。有時間緊迫感,人際關係不協調,有敵意傾向。mA是一種不那麼明朗和極端的A型人。B是B型行為人中的極端型,是與A型行為相反的一種類型,缺乏競爭性,喜歡不緊張的工作,喜歡過鬆散的生活,無時間緊迫感,有耐心,無主動的敵意。mB不像B型表現得那麼明朗和極端。M是介於A型和B型之間的一種混合型。)
人格和疾病在概念上的區分,在臨床上具有重要價值,但這種區分並不都容易。核心在於能否確定行為異常的病程。如果一個人以前行為正常,以後產生了異常行為,他被認為有病。如果他的行為以往和現在一樣反常,他被認為可能有人格障礙(personality disorder)。這種區分在行為改變急速顯著時容易做到,如急性躁狂症。但在行為改變緩慢不顯著時,這種區分就有困難,例如,某些精神分裂症。
由於人們的人格特徵存在許多差異,於是就產生了人格類型的概念。C.G.Jung把人格分為「內傾」和「外傾」兩類。孤僻好靜,自負清高、不苟言笑、不善交友、不愛勞動、不肯合群、不喜歡參加集體活動 、對人冷淡、膽小怕羞、生性多疑、多思多慮、怕負責任、有時想入非非、脫離現實,是「內傾」人格的典型特徵。而「外傾」的人格特徵則與此相反。Kretschmer曾將病人的人格、體型與所患的精神病聯繫起來研究,提出了所謂「分裂症型」和「情感性循環型」兩種。實際上「分裂症型」類似Jung的「內傾型」,「情感性循環型」類似「外傾型」。他認為內傾人格患病多為精神分裂症,而外傾人格多為躁狂抑鬱症。
有些人的人格是明顯異常的,例如,反覆傷害人而從無悔恨之心的狂暴冷酷的人。但人格障礙的概念卻不易說明,因為對人格的正常或異常並無明確的劃分標準。有兩種標準對確定這個問題有幫助。其一是統計學標準,假定人格的每一種心理特徵也像身高、體重、智能一樣在人群中呈近似正態分佈。那麼,變態人格(abnormal personality)是正常人格的量的變異,其界線由統計學評分結果人為地規定。如果一個人的某些心理特徵發展到變動的極端,就可以認為他有人格障礙。
正態分佈是許多統計方法的理論基礎。 檢驗、方差分析、相關和回歸分析等多種統計方法均要求分析的指標服從正態分佈。許多統計方法雖然不要求分析指標服從正態分佈,但相應的統計量在大樣本時近似正態分佈,因而大樣本時這些統計推斷方法也是以正態分佈為理論基礎的。

正態分佈與標準正態分佈的區別與聯繫?

正態分佈也叫常態分佈,是連續隨機變數概率分佈的一種,自然界、人類社會、心理和教育中大量現象均按正態形式分佈,例如能力的高低,學生成績的好壞等都屬於正態分佈。標準正態分佈是正態分佈的一種,具有正態分佈的所有特徵。所有正態分佈都可以通過Z分數公式轉換成標準正態分佈。
兩者特點比較:

(1)正態分佈的形式是對稱的,對稱軸是經過平均數點的垂線。

(2)中央點最高,然後逐漸向兩側下降,曲線的形式是先向內彎,再向外彎。

(3)正態曲線下的面積為1。正態分佈是一族分佈,它隨隨機變數的平均數、標準差的大小與單位不同而有不同的分佈形態。標準正態分佈是正態分佈的一種,其平均數和標準差都是固定的,平均數為0,標準差為1。

(4)正態分佈曲線下標準差與概率面積有固定數量關係。所有正態分佈都可以通過Z分數公式轉換成標準正態分佈。

8 正態分佈 -智力、能力

理查德·赫恩斯坦 [(Richard J. Herrnstein 1930.05.20-1994.09.13),美國比較心理學家]和默瑞(Charles Murray)合著《正態曲線》一書而聞名,在該書中他們指出人們的智力呈正態分佈。智力主要是遺傳的並因種族的不同而不同,猶太人、東亞人的智商最高,其次為白人,表現最差的是黑人、西班牙裔人。他們檢討了數十年來心理計量學與政策學的研究成果,發現美國社會輕忽了智商的影響愈變愈大的趨勢。他們力圖證明,美國現行的偏向於以非洲裔和南美裔為主的低收入階層的社會政策,如職業培訓、大學教育等,完全是在浪費資源。他們利用應募入伍者的測試結果證明,黑人青年的智力低於白人和黃種人;而且,這些人的智力已經定型,對他們進行培訓收效甚微。因此,政府應該放棄對這部分人的教育,把錢用於包括所有種族在內的啟蒙教育,因為孩子的智力尚未定型,開發潛力大。由於此書涉及黑人的智力問題,一經出版便受到來自四面八方的圍攻。

9 正態分佈 -弗朗西斯·高爾頓

弗朗西斯·高爾頓 [Francis Galton 1822.02.16-1911.01.17],英國探險家、優生學家、心理學家,差異心理學之父,也是心理測量學上生理計量法的創始人。
高而頓對心理學的貢獻,大概可以歸納未差異心理學、心理測量的量化和實驗心理學三方面:
1.他率先研究個體差異。他在倫敦南肯辛頓博物館他的人類測量實驗室內,利用儀器作人類學測量及心理測量。測量項目有身高、體重、肺活量、拉力和握力、扣擊的速率、聽力、視力、色覺等,以研究能力的個體差異。又用問答法研究意象的個體差異。要求被試先確定一件事,如早餐的情境,然後被試回憶心目中出現餐桌上實物的意象,即食物的鮮明度、確定度等。對答案整理后,他發現被試的意象有很大的個體差異:有的人以肌肉運動覺意象為主,有的人以聽覺意象為主,有的人以視覺意象為主。
他強調遺傳是形成個體差異的原因。他通過譜系調查,論證遺傳因素與個體差異的關係。他是第一個明確提出普通能力和特殊能力主張的人。他在調查 1768-1868 年這 1OO 年間英國的首相、將軍、文學家和科學家共 977 名獲得智力成熟的人的家譜后發現,其中有 89 個父親、129 個兒子、114 個兄弟,共 332 名傑出人士。而在一般老百姓中 4000 人才產生一名傑出人士。因此斷言「普通能力」是遺傳的。在調查 30 家有藝術能力的家庭中,他發現這些家庭中的子女也有藝術能力的占 64%;而 15O 家無藝術能力的家庭,其子女中只有 21% 有藝術能力,因此斷言藝術能力 - 「特殊能力」也是遺傳的。他發現,遺傳親屬關係程度的降低,傑出親屬的比例也顯著地下降。他還用 80 對雙生子的資料,以雙生子比其他親兄弟、親姐妹在心理特點上更為相像的事例,證明人的心理完全是遺傳的。由此也使他第一個注意到同卵雙生和異卵雙生在估計遺傳和環境因素在人的變異方面的相對作用的方法論的重要性。高爾頓根據遺傳與個體差異的關係倡導善擇配偶,改良人種,並再 1883 年《人類才能及其發展的研究》一書中首創「優生學」這一術語。
2.心理學研究之量化,始自高爾頓。他發明了許多感官和運動的測試,並以數量代表所測得的心理特質之差異。他認為人的所有特質,不管是物質的還是精神的,最終都可以定量敘述,這是實現人類科學的必要條件,故最先應用統計法處理心理學研究資料,重視數據的平均數與高中差數。他收集了大量資料證明人的心理特質在人口中的分佈如同身高、體重那樣符合正態分佈曲線。他在論及遺傳對個體差異的影響時,為相關係數的概念作了初步提示。如他研究了「居間親」和其成年子女的身高關係,發現居間親和其子女的身高有正相關,即父母的身材較高,其子女的身材也有較高的趨勢。反之,父母的身材較低,其子女也有較矮的趨勢。同時發現子女的身高常與其父母略有差別,而呈現「回中」趨勢,即離開其父母的身高數,而回到一般人身高的平均數。
3.1883 年,高爾頓出版了《人類才能及其發展的研究》,書中概括地表述了兩項在實驗心理學中極為重要的研究方法和成果。第一個是關於自由聯想的實驗:他事先在 75 張紙條上各寫一個單詞,每次只讓受試者看一張紙條,再用一個精密的計時器測出由此引出的兩個即興到來的聯想所需的時間,然後對這些聯想在受試者的經驗中的可能起源加以分析,他發現最經常的聯想往往來自遙遠的童年。在這項實驗中,他還證實人類具有一種看到或聽到某一數字就能聯想到某一特定形狀的能力,他稱這種現象為「數目形」。第二個是關於心理意象的廣泛調查:他要求受試者先想一件確定的東西,然後盡量注意自己的「心視」畫面,並回答如明亮度,清晰度、色彩等一系列問題,並按其強度記分。值得一提的是,在這些研究中,他首先在心理學中引進了調查表和評分辦法。他對實驗心理學的貢獻還包括一系列他所發明的心理測驗儀器和測驗方法。有些儀器後來就以他的名字來命名,例如測量聽覺閾的高爾頓笛和測量視覺範圍的高爾頓棒,這些儀器直到 20 世紀 30 年代都是心理實驗室的標準儀器。他還用盛有不同物質的瓶子來測驗嗅覺,這一方法被後人沿用至今。除此之外,他又設計了測量肌肉感覺、反應力、觸覺的儀器和方法。
註:美國心理學家特爾曼(L. M. Terman)曾根據有關文獻的記載,用他自己設計的斯坦福 - 比納標準對幼年的高爾頓的智力進行了估算,他認為高爾頓 3-8 歲間的智力年齡幾乎等於實際年齡的 2 倍,其智商約為 200。

10 正態分佈 -教育統計學

統計規律表明,學生的智力水平,包括學習能力,實際動手能力等呈正態分佈。因而正常的考試成績分佈應基本服從正態分佈。考試分析要求繪製出學生成績分佈的直方圖,以「中間高、兩頭低」來衡量成績符合正態分佈的程度。其評價標準認為:考生成績分佈情況直方圖,基本呈正態曲線狀,屬於好,如果略呈正(負)態狀,屬於中等,如果呈嚴重偏態或無規律,就是差的。
生產與科學實驗中很多隨機變數的概率分佈都可以近似地用正態分佈來描述。從概率統計規律看,「正常的考試成績分佈應基本服從正態分佈」是正確的。但是必須考慮人與物的本質不同,以及教育的有所作為可以使「隨機」受到干預,用曲線或直方圖的形狀來評價考試成績就有失偏頗。現在許多教育專家(如上海顧泠沅 、美國布魯姆等)已經通過實踐論證,教育是可以大有作為的,可以做到大多數學生及格,而且多數學生可以得高分,考試成績曲線是偏正態分佈的。但是長期受到「中間高、兩頭低」標準的影響,限制了教師的作為,抑制了多數學生能夠學好的信心。這是很大的誤會。
通常正態曲線有一條對稱軸。當某個分數(或分數段)的考生人數最多時,對應曲線的最高點,是曲線的頂點。該分數值在橫軸上的對應點與頂點連接的線段就是該正態曲線的對稱軸。考生人數最多的值是峰值。我們注意到,成績曲線或直方圖實際上很少對稱的,稱之為峰線更合適。
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