標籤: 暫無標籤

法向量是空間解析幾何的一個概念,垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。一般不選擇零向量為平面的法向量。

1 法向量 -定義

  如果一個非零向量n與平面a垂直,則稱向量n為平面a的法向量概念
  垂直於平面的直線所表示的向量為該平面的法向量。一個平面都存在無數個法向量。

2 法向量 -計算方法

  從理論上說,空間零向量是任何平面的法向量,但是由於零向量不能表示平面的信息。一般不選擇零向量為平面的法向量。
  如果已知直線與平面垂直,可以取已知直線的兩點構成的向量作為法向量;如果不存在這樣的直線,可用設元法求一個平面的法向量;步驟如下:首先設平面的法向量m(x,y,z),然後尋找平面內任意兩個不平行的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2)。由於平面法向量垂直於平面內所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0。由於上面解法存在三個未知數兩個方程(不能通過增加新的向量和方程求解,因為其它方程和上述兩個方程是等價的),無法得到唯一的法向量(因為法向量不是唯一的)。為了得到確定法向量,可採用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等於1的方法(單位法向量),但是這步並不是必須的。因為確定法向量和不確定法向量的作用是一樣的。
  平面法向量的具體步驟:(待定係數法)
  1、建立恰當的直角坐標系
  2、設平面法向量n=(x,y,z)
  3、在平面內找出兩個不共線的向量,記為a=(a1,a2, a3) b=(b1,b2,b3)
  4、根據法向量的定義建立方程組①n*a=0 ②n*b=0
  5、解方程組,取其中一組解即可。
  關於法向量微分幾何的計算方式,這涉及到曲面的表示方式。通常曲面的表示方式為:
  1).隱函數:F(x,y,z)=0, 如平面x+y+z=0;
  2).(參數化的)向量形式:r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k. 因為曲面的維度為2,所以一般是兩個參數u,v。比如:x+y+z=0 可表示為:r(u,v)=ui+vj+(-u-v)k.
  對應的,計演算法向量的方式分別為:
  1). grad(F). 即隱函數F(x,y,z)的梯度grad(F) 即為曲面在點(x,y,z)處的法向量,也即,法向量為F(x,y,z)=C變化率最大的方向。
  2).偏導的叉乘給出法向量
  

3 法向量 -應用範圍

  法向量的主要應用如下:
  1、求斜線與平面所成的角(一般只求出正弦值即可):求出平面法向量和斜線的一邊,然後聯立方程組,可以得到角度的餘弦值,根據公式Sinα=|Cosα|。利用這個原理也可以證明線面平行;
  2、求二面角:求出兩個平面的法向量所成的角,這個角與二面角相等或互補;
  3、點到面的距離: 任一斜線(平面為一點與平面內的連線)在法向量方向的射影;如點B到平面α的距離d=|BD·n|/|n|(等式右邊全為向量,D為平面內任意一點,向量n為平面α的法向量)。利用這個原理也可以求異面直線的距離
  法向量方法是高考數學可以採用的方法之一,它的優點在於思路簡單,容易操作。只要能夠建立出直角坐標系,都可以寫出最後答案。缺點在於同一般立體幾何方法相比,其計算量巨大,特別是在計算二面角的時候。
上一篇[柿子酥]    下一篇 [中原單32]

相關評論

同義詞:暫無同義詞