標籤:數學教育家

波利亞(George Polya,1887-1985),美籍匈牙利數學家。生於布達佩斯,卒於美國。青年時期曾在布達佩斯、維也納、巴黎等地攻讀數學、物理和哲學,獲博士學位。1914年在瑞士蘇黎世工業大學任教,1938年任數理學院院長。1940年移居美國,歷任布朗大學、斯坦福大學教授。1963年獲美國數學會功勛獎。他是法國科學院、美國全國科學園和匈牙利科學院的院士。 曾著有《怎樣解題》、《數學的發現》、《數學與猜想》等,它們被譯成多種文字,廣為流傳。

1人物簡介

壯年
1910—1911年整整一學年,波利亞是在維也納大學度過的. 1912年回布達佩斯大學接受哲學博士學位,學位論文的題目是「概率論計算中的一些問題及其有關的定積分」(Some questions ofthe calculus of probability,and some definite integrals asso-ciated with it).獲得博士學位后,波利亞先後在格丁根大學(1912—1913年)以及巴黎大學(1914年)從事博士后研究工作.結識了格丁根大學的著名數學家F.克萊因(Klein)、D.克萊因(Klein)、D.希爾伯特(Hilbert)、K.希爾伯特(Hilbert)、K. 龍格(Runge)、E.龍格(Runge)、E.蘭道(Landau)等,在巴黎見到了法國數學家E.蘭道(Landau)等,在巴黎見到了法國數學家E. 皮卡(Picard)和J.皮卡(Picard)和J.阿達馬(Hada-mard).阿達馬(Hada-mard). 這些數學家對波利亞後來的研究工作都產生了很大影響.
1914年秋,他接受了德國數學家A.胡爾維茨(Hurwitz)的邀請,去蘇黎世的瑞士聯邦工學院任教,從此開始了他的教學生涯.
第一次世界大戰期間,他曾想入伍服兵役. 但因年幼時,踢足球腿部受傷而留下後遺症,兵役檢查后,被拒絕參軍.後來局勢嚴重起來,兵源大量缺乏,匈牙利軍方要求他從瑞士回來申請入伍,但他已經深受英國數學家和哲學家、公開的反戰論者B.羅素(Russell)的影響,拒絕服兵役,這使他長期不能再回匈牙利.
1918年波利亞與斯特拉·韋伯(Stella Vera Weber)結婚,斯特拉是瑞士人,納沙泰爾大學的一位物理教授的女兒,從此,波利亞建立了一個美滿的家庭,夫婦共同生活長達67年.波利亞沒有子女. 斯特拉生長於講法語的瑞士西部,因此她講法語,婚後波利亞夫婦居住在講德語的瑞士北部地區,於是波利亞生活在三種語言環境中,正投合他對語言的愛好.波利亞能夠用匈牙利語、法語、德語、義大利語、英語和丹麥語6種語言寫作論文,此外,他還在學校里正規地學習過拉丁語和希臘語.
1924年在英國數學家G. H.哈代(Hardy)的推薦下,波利亞作為國際洛克菲勒學會成員去英國逗留了一年,曾先後訪問牛津大學、劍橋大學等著名高等學府.在此期間參加了由哈代與J. E. E.李特爾伍德(Littlewood)主持的經典著作《不等式》(Inequalities)的寫作,此書在1934年由劍橋大學出版社出版.
1928年在瑞士聯邦工學院,波利亞破格直接晉陞為教授.
在20世紀30年代,波利亞就一系列數學問題與法國數學家G.朱利亞(Julia)進行過密切合作. 1933年他再次獲得洛克菲勒的資助去美國普林斯頓大學訪問.這一年夏天,又接受了丹麥出生的美國數學家H. F.布利克弗爾特(Blichfeldt)的邀請,訪問了美國加利福尼亞的斯坦福大學.
1940年,歐洲正在捲入第二次世界大戰,波利亞決定離開瑞士,經葡萄牙首都里斯本轉道去了美國.當時歐洲各國學術界人士為躲避納粹德國的迫害,紛紛逃離歐洲蜂擁入美國,使得在美國找到合適的工作很困難.波利亞先在布朗大學任客座教授兩年,然後接受了斯坦福大學的聘任. 1942年1月,他的夫人去美國西海岸加利福尼亞的帕洛阿爾托購買了他們的寓所,開始了他們在美國的定居生活.
1953年,波利亞從斯坦福大學退職.但他繼續從事教學與寫作,對教師的培訓工作越來越感興趣,並在一些師範院校任教他熱愛教學工作. 直至1978年93歲高齡時,仍親自講課除了本文在後面還要詳述的幾部解題研究與數學方法論的書以外, 1974年他與G. 拉塔(Latta) 合作撰寫了復變數的教科書,與J. 基爾帕特里克(Kilpatrick)合著《斯坦福數學問題集》(The stanfordmathematics problem book,1974). 他還著有《科學中的數學方法》(Mathematical methods in science,1963)、《組合學導引的札記》(Notes on introductory combinatorics,1984)等.
建樹
波利亞的數學研究的最顯著特點是他有極為廣泛的興趣,他在概率論、組合數學、圖論、幾何、代數、數論、函數論、微分方程、數學物理等領域都有過建樹.他撰寫(包括與他人合作)的250多篇論文,被收集整理成四卷本的論文集,由美國麻省理工學院出版社出版(前兩卷在1974年出版,后兩卷在1984年出版). 當有人問及為什麼他對差異如此之大的數學分支進行研究時,他回答說:「是受了我的老師以及當時的數學風尚的影響,後來又受到自己發現興趣的驅使.」
函數論
雖然波利亞在概率論方面的成就是引人注目的,但他的最深奧、最艱難的工作要算複變函數論了.特別是全平面內沒有奇點的單值整函數的研究.在這個領域中所使用的術語,例如「波利亞峰」、「波利亞表示」和「波利亞間隙定理」就表明了波利亞在這一領域中所做出的貢獻.
1914年他和德國猶太數學家I.舒爾(Schur)合作引進了波利亞-舒爾函數,包括J.舍恩伯格(Schoenberg)樣條函數逼近工作. 1957年,波利亞與舍恩伯格提出了一個有關冪級數的猜想:能夠將單位圓映入凸區域的兩個冪級數的阿達馬積,仍是一個具有同樣性質的冪級數.這就是著名的波利亞-舍恩伯格猜想.經過一些數學家的不懈努力,15年後,在1973年由德國維爾茨堡的S.路什科威(Ruscheweyh)和英國約克的T.小希爾(Sheil-small)合作下最後獲得證明.舍恩伯格在1947年解決了一個矩問題,它與波利亞在1915年的一篇論文有關,為此舍恩伯格引進了一些頻率函數,並稱之為波利亞頻率函數.
波利亞在函數論方面最重要的工作是有關函數零點的結果,它與著名的黎曼猜想密切相關.1919年的論文「數論的種種評論」(Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheone)提出了一個猜想,被稱為波利亞猜想,即:「對每個x>1,在不超過x的正整數中,含有奇數個素數因子(不一定是不同的)的整數個數不少於含有偶數個素數因子的整數個數.」在很長時期里,人們都認為波利亞猜想是正確的.直到1958年,C. B. B. 哈茲爾格羅夫(Haselgrove)從理論上證明了存在著無窮多個反例, 1962年R. S. S.萊曼(Lehman)找到了一個具體反例:906 180 359,從而推翻了波利亞猜想.發表於1926年的波利亞的另一篇論文「關於黎曼ξ函數的積分表示的評論」(Bemerkung ber die Integraldarstellung derRiemannschen ξ-Funktion)明顯地涉及了黎曼猜想,雖然失敗了,但卻導致了統計方法的重大進展.
等周問題
在20世紀40年代後期,波利亞撰寫了一些有關微分方程的論文以及數學物理方面的一系列論文.其中有些內容,後來出現在與賽格合著的書《數學物理中的等周不等式》(Isoperimetricinequalities in mathematical physics)中. 他的有關等周問題、振動模以及特徵值的一系列工作一直持續到1960年.最古老的等周問題要追溯到遠古,即所謂狄多(Dido)①(①狄多,希臘傳說中迦太基著名的建國者,古代泰爾(Tyre)國古腓尼基南部之一海港,在今黎巴嫩)國王的女兒.)題:在面積給定的情況下,求周長最小的平面區域,或等價地說成,用給定的周長圍成最大面積的平面區域. 隨著數學物理的發展,產生了許多類似的問題.最著名的一個是由L. 雷利(Rayleigh)提出來的:在鼓膜面積給定的條件下,它應具有什麼形狀,使震動的頻率最小?很明顯,這個問題與狄多問題一樣,應取圓形.但是要證明它卻並非易事.狄多問題的最精巧的、直觀的解法是由瑞士幾何學家J.斯坦納(Steiner)給出的「對稱法」.波利亞認為同樣的方法也可以運用於類似的幾何與數學物理問題中,並給出了雷利問題的最優美的解答.

幾何與數論

早在1913年,波利亞就描述了下面這樣一條皮亞諾(Peano)曲線,它通過一個區域中的每一個點至多三次.眾所周知,這樣的曲線必須有至少三重點,但波利亞證明了,這樣的曲線並不必須有更高重數的點,這一結論是很重要的.
波利亞對於數論的貢獻主要體現在解析數論領域、各種漸近公式、k冪剩餘以及非剩餘問題等.

2工作

波利亞曾經教過中學,長期從事大學數學教學工作.退休后,又從事中學數學教師的培訓工作.在漫長的歲月中,他的精湛的教學藝術與傑出的數學研究相結合,產生了他特有的豐富的數學教育思想.
波利亞數學教育思想有兩個基點:其一是關於對數學科學的認識,他認為數學有二重性,它既是歐幾里得式的演繹科學,但在創造與認識過程中,它又是一門實驗性的歸納科學.其二是關於對數學學習的認識,他認為生物發生律(也稱重演律)可以運用於數學教學與智力開發,為此他在1962年發表了題為「數學教學與生物發生律」(The teaching of mathematics and the biogeneticlaw)的論文, 1965年又在《數學的發現》(Mathematical disco-very)一書中進一步強調人類的後代學習數學應重走人類認識數學的重大幾步.基於這種思想他對數學史、對許多著名數學家如歐幾里得(Euclid)、阿基米得(Archimedes)、R.笛卡兒(De-scartes)、C.笛卡兒(De-scartes)、C. F. F.高斯(Gauss),尤其是L.高斯(Gauss),尤其是L.歐拉(Euler)的論文進行了深入研究,認真剖析他本人及當代人發現數學定理及其證明的認識過程,體察人類認識數學的思想、方法與途徑,從而提出了一些重大的數學教育思想與方法論原理.
1963年,他在《美國數學月刊(The American Mathemati-cal Monthly)撰文提出了著名的數學教學與學習的心理三原則,即主動學習原則、最佳動機原則以及階段循序原則. 波利亞認為教師在學生的課堂學習中,僅僅是「助產士」,他的主導作用在於引導學生自己去發現儘可能多的東西;引導學生積極地參與提出問題、解決問題.他認為科學地提出問題需要更多的洞察力和創造性,很可能成為一項發現的重要組成部分,而學生一旦提出了問題,那麼他們解決問題的注意力更集中,主動性會更強烈.教師的教學應立足於學生的主動學習,這就是主動性原則.但他又認為如果學習者缺少活動的動機,那麼也不會有所行動. 波利亞認為對所學材料產生興趣是最好的學習刺激,而緊張的思維活動后所感受到的快樂是對這種活動的最好獎賞.這就是最佳動機原則.這就是最佳動機原則. 波利亞根據生物發生律的思想,將數學學習過程由低級到高級分成三個不同階段:⑴探索階段,是人類的活動與感受階段,處於直觀水平;⑵形式化階段,引入術語、定義、證明,上升到概念水平;⑶同化階段,將所學的知識消化、吸收、融匯於學習者的整體智力結構中.每一個人的思維必須有序地通過這三個階段,這就是階段循序原則.
他認為在課程設計及其教學時,「生物發生律」不僅可以決定應教什麼內容與理論,而且還可以預見到用什麼樣的先後順序和適當方法來講授這些內容與理論.據此,1965年正當「新數運動」方興未艾時,他提出了尖銳的反對意見.他說先講集合、群論等現代數學的東西,再學傳統數學內容,無異於讓嬰兒先學開汽車,再讓他學會走路. 直到1977年在回答「你希望今後若干年內數學教育應朝什麼方向發展」的問題時,仍激烈地堅持「離開新數學軌道,離得越遠越好」.

3教育

波利亞年輕時就對初等教育感興趣.他不但獲取過教拉丁語、匈牙利語的證書,而且還拿到過在預科學校各年級教數學、物理、甚至教哲學的教師資格證書.
波利亞主張數學教育主要目的之一是發展學生的解決問題的能力,教會學生思考. 1914年他在蘇黎世時,就準備研究數學解題的規律,用德文寫了一個大綱,後來在英國數學家哈代的啟發下,1944年在美國出版了《怎樣解題》(How to solve it),其中「怎樣解題」表總結了人類解決數學問題的一般規律和程序,對數學解題研究有著深遠影響. 迄今此書已銷售一百萬冊,被譯成至少17種語言廣為傳播,可說是一部現代數學名著.他隨後又寫了兩部這類書. 其一是1954年出版的兩卷本《數學與合情推理》(Mathematics and plausible reasoning),再次闡述了在《怎樣解題》以及其它論文中所提到的啟髮式原理,被譯成6種語言.其二是出版了兩卷本的《數學的發現》(Mathematical discovery),1962年出版第一卷,1965年出版第二卷,1981年又合成一卷再版,被譯成8種語言.這些書籍一經出版,立刻在美國引起轟動,很快風行世界,使波利亞成為當代的數學方法論、解題研究與啟髮式教學的先軀.「按波利亞的風格」、「波利亞的方法」成了世界各地數學教師的口頭禪或專門用語. 70與80年代,中國陸續翻譯出版了波利亞的上述著作,隨之在中國掀起一股「波利亞熱」,促進了中國數學教學的改革,提高了中國數學解題研究的水平.
能集中表現他的數學解題思想與方法的另一部名著是他與賽格合著的《數學分析中的問題和定理》(Aufgaben und Lehrs tzeaus der Analysis).大約在1913年波利亞偶爾回國到布達佩斯大學訪問,在這裡遇到了比他小8歲、正在學習的賽格.他們志趣相投,賽格證明了波利亞的一個關於傅里葉係數的猜想,從此,賽格成為波利亞長期合作的同事與朋友.他們志趣相投,賽格在1918年獲得了維也納大學的博士學位. 他們合作的第一部書就是兩卷本的《數學分析中的問題和定理》,於1925年出版德文版.它並不是一部普通的習題集而是一部極負盛名的著作,其新穎之處在於不是按內容而是按解題方法編排的,用意在於激勵讀者(特別是大學數學系高年級的學生)在數學分析的幾個重要領域中進行獨立的思考與工作,並養成有用的思維習慣. 1935年,蘇聯出版了此書的俄文版;1972年,第一卷英文版出版;1976年,第二卷英文版出版.中文版的第一、二卷分別在1981年、1985年由上海出版.半個多世紀以來,此書一直是許多研究課題的重要來源,是各類試題的幾乎取之不盡的源泉,在數學教育界堪稱一絕.

4論文

1959年,波利亞以「數學作為學習合情推理的學科」為題,在美國《數學教師》(The Mathematics Teacher)雜誌上發表論文,提出「合情推理」概念,認為在數學研究與數學教學中合情推理佔有很重要的地位. 隨後在《數學與合情推理》第二卷中,進一步闡述了合情推理及其模式.波利亞的合情推理是指藉助于歸納、模擬、限定、推廣、猜測、檢驗等思維活動來認識事物、發現真理的推理形式.其英文詞是「plausible reasoning」,直譯為「似乎可靠的推理」.例如,我們知道,如果命題A可推出命題B,且命題A是真的,則命題B必真. 反過來,如果命題B是真的,那麼能否推出命題A為真呢?演繹推理不能回答這個問題.但波利亞認為,B真對增大A真的可能性會產生影響,他認為若A可推出B1,B2,…,且B1,B2,…都真,則A將大大提高了可靠性.由於他在合情推理中使用了「命題的可靠性」概念,因此,很想利用概率論方法來研究合情推理,但是他遇到了困難.雖然如此,仍不愧為對數學方法論的重要貢獻,著名學者A.舍恩費爾德(Schoenfeld)認為,它將對人工智慧起作用(1987年).

5培養

波利亞極其關心中學數學教師的培養,退休后親自主持了一些教師培訓班,制定了培訓計劃與課程.他主張課程要加強與初等數學的聯繫,自始至終要強調方法論,要突出啟髮式推理和歷史來源.他建議:
⑴培訓數學教師時應該向他們提供獨立工作的機會,其難度要適當,其形式可採取解題方法討論班或其它合適的形式.
⑵教法課必須緊密地與課程內容或教學實習相聯繫,講授教學法課的大學講師必須至少掌握碩士一級的數學知識,並且要有數學研究工作經驗以及教學實際經驗.

6評價

由於他在數學教育上的傑出工作,1980年被邀請擔任第四屆國際數學教育大會的名譽主席,並發表了題為「數學增進智力」的書面致詞.
當代數學家N. G、德布魯因(de Bruijn)這樣評價他:「波利亞是對我的數學活動影響最大的數學家.他的所有研究都體現出使人愉快的個性、令人驚奇的鑒賞力、水晶般清晰的方法論、簡捷的手段、有力的結果.如果有人問我,想成為什麼樣的數學家,我會毫不遲疑地回答:波利亞。」
——摘自賀賢孝 (遼寧師範大學),《波利亞》,世界著名數學家傳記,1995,1407-1419
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