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1波動方程簡介

波動方程
波動方程或稱波方程(英語:wave equation)是一種重要的偏微分方程,主要描述自然界中的各種的波動現象,包括橫波和縱波,例如聲波、光波和水波。波動方程抽象自聲學,電磁學,和流體力學等領域。
歷史上許多科學家,如達朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時,都對波動方程理論作出過重要貢獻。
歷史上,像樂器那樣的振動弦問題曾被很多科學家研究,包括達朗貝爾,歐拉,丹尼爾·伯努利,和拉格朗日。

2方程形式

對於一個標量quantity u的波動方程的一般形式是:
波動方程

  波動方程

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u
這裡c通常是一個固定常數,也就是波的傳播速率(對於空氣中的聲波大約是330米/秒, 參看音速)。對於弦的振動,這可以有很大的變化範圍:在螺旋彈簧上(slinky),它可以慢到1米/秒。但若c作為波長的函數改變,它應該用相速度代替:
v_\mathrm = \frac{\omega}.
注意波可能疊加到另外的運動上(例如聲波的傳播在氣流之類的移動媒介中)。那種情況下,標量u會包含一個馬赫因子(對於沿著流運動的波為正,對於反射波為負)。
u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定時間t的波強度的一個測量。對於空氣中的聲波就是局部氣壓,對於振動弦就使從靜止位置的位移。\nabla^2 是相對於位置變數x的拉普拉斯運算元。注意u可能是一個標量或向量。

3方程的解及條件

對於一維標量波動方程的一般解是由達朗貝爾給出的: u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G為任意函數,分別對應於前進行波,和後退行波。要決定F和G必須考慮兩個初始條件:
u(x,0)=f(x)
u_{,t}(x,0)=g(x)
這樣達朗貝爾公式變成了:
u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + \frac \int_^{x+ct} g(s) ds
在經典的意義下,如果f(x) \in C^k並且g(x) \in C^則u(t,x) \in C^k.
一維情況的波動方程可以用如下方法推導:想象一個質量為m的小質點的隊列,互相用長度h的彈簧連接。彈簧的硬度為k :
這裡u (x)測量位於x的質點偏離平衡位置的距離。對於位於x+h的質點的運動方程是:
m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= kLINK
其中u(x)的時間依賴性變成顯式的了。

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