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一般的波是由若干種以至無限多種諧波疊加而成的,往往仍然是非局域性的。但是,在特定條件下,疊加后的波有可能是局域性的,猶如被某種曲面包裹住那樣。這種局域性的波就叫做「波包」。對於波包,描述其傳播的有兩個速度:相速度和群速度。

1 波包 -概念

  英文翻譯為wavepacket, 一般的波是由若干種以至無限多種諧波疊加而成的,往往仍然是非局域性的。但是,在特定條件下,疊加后的波有可能是局域性的,猶如被某種曲面包裹住那樣。這種局域性的波就叫做「波包」。舉一個例子:取一根均勻而又較長的橡皮繩,讓它的一端固定在牆上或別的什麼上,另一端握在手中,拉直。起初,該系統處於靜止狀態。後來,握繩的手突然抖動了一下后又回到了原來的位置並重新靜止下來。此後就會看到繩上有一個隆起的形狀在移動,這個隆起的部分就叫做「波包」。
  波包是波的一個特殊的品種,用以描述波包狀態的代數函數仍然叫做「波函數」。波包的局域性並不是很嚴格的。人們在收聽廣播時接收到的是電台發來的電磁波,電台總有停播的時候,所以這種電磁波肯定是局域性的,但習慣上不把這種局域性的波稱為波包。在量子力學里,薛定諤所說的波包是指微觀粒子,其尺寸就是粒子的尺寸。如果用波函數來描述它,那麼就會發現,波函數在任意大的範圍內都不會嚴格等於零。這時的所謂「局域」,實際上是指「主要分布區域」。從數學形式上看,k和x在波函數里是處於完全平等的地位,所以波的概念不是坐標空間里特有的。坐標空間的波在k空間里(或動量空間里)仍然是波,k空間里也有波包。

2 波包 -波包的群速度和相速度

  對於波包,描述其傳播的有兩個速度:相速度和群速度。相速度

  相速度是波的相位向前傳播的速度,如果一列波的波動方程為ψ = A cos(kx-ωt),其等相面為「kx-ωt=常數」,對等相面微分可以知道dx/dt=ω/k,故其相速度為ω/k。由於組成波包是一系列簡諧波,因此除非這一系列波的相速度都相等(即不存在色散),否則波包實際上是沒有嚴格確定的相速度的,但由於能夠組成波包的一系列波往往參數非常接近,所以通常可以將波包分解成簡諧波以後,按權重計算出平均相速度,當作波包的相速度。 群速度

  考慮最簡單的兩列波疊加,一列為ψ = A cos(kx-ωt),另一列為ψ' = A cos(k'x-ω't),其中k'=k+dk,ω'=ω+dω,則由三角函數的和差公式可得出疊加后的波動方程為:
  Ψ = 2A cos(xdk/2-tdω/2) cos[x(2k+dk)/2-t(2ω+dω)/2]
  后一項約為cos(kx-ωt),也就是相速度,而前一項的推進速度為dω/dk,它表示波的最大振幅處向前推進的速度,也就是群速度。

3 波包 -量子波包理論

  在量子力學建立之初,波粒二象性被提出之後,對它的解釋曾有過很大的爭議。是否可以認為粒子就是波包呢?答案是否定的,由於根據德布羅意關係λ=h/p,ν=E/h,若假設粒子就是波包,則組成粒子的群速度不僅不等於相速度,而且彼此之間的相速度也各不相同,造成波包在傳播過程中擴散,這意味著粒子會在運動中自動解體,這顯然是不合理的。後來玻恩提出的統計解釋認為,所謂的波表徵的是粒子在空間中的各個位置出現的概率,波包的擴散實際上是粒子概率的擴散,而並非粒子本身的解體,這種解釋在一定程度上解決了波動性和粒子性的矛盾,目前為多數人所認同。
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