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洛侖茲坐標變換

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愛因斯坦提出兩個基本假設:相對性原理和光速不變原理。第二個假設與邁克耳遜-莫雷實驗一致,但顯然與伽利略變換不相容。早在邁克耳遜-莫雷實驗以前,就有物理學家注意到,在伽利略變換下麥克斯韋方程組的形式不是不變的。邁克耳遜-莫雷實驗證明了真空中的光速不變,實質上是證明了不存在這種特殊的慣性系,從而突出了光速不變原理與伽利略變換之間的不可調和的矛盾。19世紀末,荷蘭物理學家洛侖茲(H.A.Lorentz)在研究運動媒質中的電動力學時,提出了一套坐標變換公式,代替伽利略變換,稱為洛侖茲變換。

  洛侖茲坐標變換
  洛侖茲變換是描述狹義相對論空間中各參考系間關係的變換。它最早由洛侖茲從以太說推出,用以解決經典力學與經典電磁學間的矛盾(即邁克爾孫-莫雷實驗的零結果)。后被愛因斯坦用於狹義相對論。
  1632年,伽利略出版了他的名著《關於托勒密和哥白尼兩大世界體系的對話》。書中那位地動派的「薩爾維阿蒂」對上述問題給了一個徹底的回答。他說:「把你和一些朋友關在一條大船甲板下的主艙里,讓你們帶著幾隻蒼蠅、蝴蝶和其他小飛蟲,艙內放一隻大水碗,其中有幾條魚。然後,掛上一個水瓶,讓水一滴一滴地滴到下面的一個寬口罐里。船魚向各個方向隨便遊動,水滴滴進下面的罐口,你把任何東西扔給你的朋友時,只要距離相等,向這一方向不必比另一方向用更多的力。你雙腳齊跳,無論向哪個方向跳 過的距離都相等。當你仔細地觀察這些事情之後,再使船以任何速度前進,只要運動是勻速,也不忽左忽右地擺動,你將發現,所有上述現象絲毫沒有變化。你也無法從其中任何一個現象來確定,船是在運動還是停著不動。即使船運動得相當快,你跳向船尾也不會比跳向船頭來得遠。雖然你跳到空中時,腳下的船底板向著你跳的相反方向移動。你把不論什麼東西扔給你的同伴時,不論他是在船頭還是在船尾,只要你自己站在對面,你也並不需要用更多的力。水滴將象先前一樣,滴進下面的罐子,一滴也不會滴向船尾。雖然水滴在空中時,船已行駛了許多柞(為大指尖到小指尖伸開之長,通常為九英寸,是古代的一種長度單位)。魚在水中游向水碗前部所用的力並不比游向水碗後部來得大;它們一樣悠閑地游向放在水碗邊緣任何地方的食餌。最後,蝴蝶和蒼蠅繼續隨便地到處飛行,它們也決不會向船尾集中,並不因為它們可能長時間留在空中,脫離開了船的運動,為趕上船的運動而顯出累的樣子。」
  薩爾維阿蒂的大船道出一條極為重要的真理,即:從船中發生的任何一種現象,你是無法判斷船究竟是在運動還是停著不動。現在稱這個論斷為伽利略相對性原理。
  用現代的語言來說,薩爾維阿蒂的大船就是一種所謂慣性參考系。就是說,以不同的勻速運動著而又不忽左忽右擺動的船都是慣性參考系。在一個慣性系中能看到的種種現象,在另一個慣性參考系中必定也能無任何差別地看到。亦即,所有慣性參考系都是平權的、等價的。我們不可能判斷哪個慣性參考系是處於絕對靜止狀態,哪一個又是絕對運動的。
  伽利略相對性原理不僅從根本上否定了地靜派對地動說的非難,而且也否定了絕對空間觀念(至少在慣性運動範圍內)。所以,在從經典力學到相對論的過渡中,許多經典力學的觀念都要加以改變,唯獨伽利略相對性原理卻不僅不需要加以任何修正,而且成了狹義相對論的兩條基本原理之一。
  狹義相對論的兩條原理 1905年,愛因斯坦發表了狹義相對論的奠基性論文《論運動物體的電動力學》。關於狹義相對論的基本原理,他寫道: 「下面的考慮是以相對性原理和光速不變原理為依據的,這兩條原理我們規定如下:
  1.物理體系的狀態據以變化的定律,同描述這些狀態變化時所參照的坐標系究竟是用兩個在互相勻速移動著的坐標系中的哪一個並無關係。
  2.任何光線在「靜止的」坐標系中都是以確定的速度c運動著,不管這道光線是由靜止的還是運動的物體發射出來的。」
  其中第一條就是相對性原理,第二條是光速不變性。整個狹義相對論就建築在這兩條基本原理上。
  愛因斯坦的哲學觀念是,自然界應當是和諧而簡單的。的確,他的理論常有一種引人注目的特色:出於簡單而歸於深奧。狹義相對論就是具有這種特色的一個體系。狹義相對論的兩條基本原理似乎是並不難接受的「簡單事實」,然而它們的推論卻根本地改變了牛頓以來物理學的根基。
  洛侖茲變換的數學形式
  洛侖茲提出洛侖茲變換是基於以太存在的前提的,然而以太被證實是不存在的,相對於任何慣性參照系,光速都具有相同的數值這個現象一時難以解釋。愛因斯坦據此提出了狹義相對論。在狹義相對論中,空間和時間並不相互獨立,而是一個統一的四維時空整體,不同慣性參照系之間的變換關係式在數學表達式上是一致的,愛因斯坦的相對論理論為洛侖茲變換結果提供了依據:
  洛倫茲公式是洛倫茲為彌補經典理論中所暴露的缺陷而建立起來的。洛倫茲是一位理論物理學家,是經典電子論的創始人。
  坐標系K1(O1,X1,Y1,Z1)以速度V相對於坐標系K(O,X,Y,Z)作勻速直線運動;三對坐標分別平行,V沿X軸正方向,並設X軸與X1軸重合,且當T1=T=0時原點O1與O重合。設P為被「觀察」的某一事件,在K系中觀察者「看」來。它是在T時刻發生在(X,Y,Z)處的,而在K1系中的觀察者看來,它是在T1時刻發生在(X1,Y1,Z1)處的。這樣的兩個坐標系間的變換,我們叫洛倫茲坐標變換。
  在推導洛倫茲變換之前,作為一條公設,我們必須假設時間和空間都是均勻的,因此它們之間的變換關係必須是線性關係。如果方程式不是線性的,那麼,對兩個特定事件的空間間隔與時間間隔的測量結果就會與該間隔在坐標系中的位置與時間發生關係,從而破壞了時空的均勻性。例如,設X1與X的平方有關,即X1=AX^2,於是兩個K1系中的距離和它們在K系中的坐標之間的關係將由X1a-X1b=A(Xa^2-Xb^2)表示。現在我們設K系中有一單位長度的棒,其端點落在Xa=2m和Xb=1m處,則X1a-X1b=3Am。這同一根棒,其端點在Xa=5m和Xb=4m處,則我們得到X1a-X1b=9Am。這樣,對同一根棒的測量結果將隨棒在空間的位置的不同而不同。為了不使我們的時空坐標系原點的選擇與其他點相比較有某種物理上的特殊性,變換式必須是線性的。
  先寫出伽利略變換:X=X1+VT1; X1=X-VT
  增加係數k,X=k(X1+VT1); X1=k1(X-VT)
  根據狹義相對論的相對性原理,K和K1是等價的,上面兩個等式的形式就應該相同(除正負號外),所以兩式中的比例常數k和k1應該相等,即有k=k1。
  這樣, X1=k(X-VT)
  為了獲得確定的變換法則,必須求出常數k,根據光速不變原理,假設光信號在O與O1重合時(T=T1=0)就由重合點沿OX軸前進,那麼任一瞬時T(由坐標系K1量度則是T1),光信號到達點的坐標對兩個坐標系來說,分別是 X=CT; X1=CT1
  XX1=k^2 (X-VT)(X1+VT1)
  C^2 TT1=k^2 TT1(C-V)(C+V)
  由此得
  k=1/ (1-V^2/C^2) ^ (1/2)
  於是
  T1= (T-VX/C^2) / (1-V^2/C^2) ^ (1/2)
  T=(T1+VX/C^2) / (1-V^2/C^2)^(1/2)
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