標籤:高等數學

洛必達(L ' Hospital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式值的方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)所發現的,因此也被叫作伯努利法則(Bernoulli's rule)。

1定義

設函數
f\left(x\right)
F\left(x\right)
滿足下列條件:
\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)=0
\lim_{x\rightarrow a}F\left(x\right)=0
⑵在點
a
的某去心鄰域內
f'\left(x\right)
F'\left(x\right)
都存在,且
F'\left(x\right)\ne0
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{F'\left(x\right)}
存在或為無窮大,
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)}{F\left(x\right)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'\left(x\right)}{F'\left(x\right)}

2推導

由於條件皆滿足,先令f(a)=F(a)=0。

洛必達法則的證明過程

洛必達法則的證明過程
再用柯西中值定理進一步證明。
詳細闡述見圖。

3理解

洛必達

  洛必達

⑴該定理所有條件中,對
x\rightarrow\infty
的情況,結論依然成立。
⑵該定理第一條件中,
\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)
\lim_{x\rightarrow a}F\left(x\right)
的極限皆為
\infty
時,結論依然成立。
⑶上述
\lim_{x\rightarrow a}f\left(x\right)
\lim_{x\rightarrow a}F\left(x\right)
的構型,可精練歸納為
\frac{0}{0}
\frac{\infty}{\infty}
;與此同時,下述構型也可用洛必達法則求極限,只需適當變型推導:
0\bullet\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
\infty^0
0^0
。(上述構型中0表示無窮小,
\infty
表示無窮大。)

4使用條件

分式滿足0/0或∞/∞型未定式,即分子分母極限均為0.

5應用

例題圖冊

例題圖冊
求極限是高等數學中最重要的內容之一,也是高等數學的基礎部分,因此熟練掌握求極限的方法對學好高等數學具有重要的意義。洛比達法則用於求分子分母同趨於零的分式極限。
⑴在著手求極限以前,首先要檢查是否滿足
\frac{0}{0}
\frac{\infty}{\infty}
型構型,否則濫用洛必達法則會出錯。當不存在時(不包括
\infty
情形),就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不適用,應從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。
⑵若條件符合,洛必達法則可連續多次使用,直到求出極限為止。
⑶洛必達法則是求未定式極限的有效工具,但是如果僅用洛必達法則,往往計算會十分繁瑣,因此一定要與其他方法相結合,比如及時將非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等。
⑷洛必達法則常用於求不定式極限。基本的不定式極限:
\frac{0}{0}
型;
\frac{\infty}{\infty}
型(
x\rightarrow\infty
x\text{ }\rightarrow a
),而其他的如
0\bullet\infty
型,
\infty-\infty
型,以及
1^{\infty}
型,∞^0型和
0^0
型等形式的極限則可以通過相應的變換轉換成上述兩種基本的不定式形式來求解。
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