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流形的拓撲學

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本書作者以微分流形為中心寫了這本書,涉及拓撲學的廣泛的領域並在分析數學、幾何學乃至理論物理學中均可得到重要的應用。本書的主要內容是:微分流形、示性類理論、表示論大意、Hodge理論、Hirzebruch指標定理、Riemann-Roch定理、Atiyah-Singer指標定理和Gauss-Bonnet定理等。拓撲學的方法與結果在各個數學分支中有著廣泛的應用,因此適當選擇其中的內容供各個分支的研究者與教師之用是一個很重要的工作。

目錄

1 流形的拓撲學 -目錄

第1章 基本定義

  1.1 定義和例

  1.2 光滑函數與光滑映射

  1.3 字流形和隱函數定理

  1.4 技術性的問題

  參考文獻

第2章 切叢

  2.1 流形的切叢

  2.2 內在的描述

  2.3 切空間的幾何意義

  2.4 球面的切叢

  參考文獻

第3章 矢量叢

  3.1 定義和例

  3.2 矢量叢上的運算

  3.3 叢的正合序列、分裂和一的分裂

  3.4 法叢

  3.5 仿緊性與一的分割

第4章 流形上的微分學

  4.1 方嚮導數和矢量場

  4.2 矢量場的幾何,積分曲線

  4.3 括弧運算和Frobenius定理

  4.4 矢量場的拓撲學

  4.5 附錄

  參考文獻

第5章 Lie群

  5.1 Lie群的Lie代數

  5.2 局部同構,Sophus Lie的基本定理

  5.3 指數映射,較深的結果

  5.4 Lie群上的Taylor級數展開市,更多的應用

  5.5 解析結構和存在性定理

  5.6 單連通Lie群

  參考文獻

第6章 微分形式

  6.1 引言

  6.2 函數的微分與一次微分形式

  6.3 外代數的概述

  6.4 高次微分形式

  6.5 其它問題

  參考文獻

第7章 積分

  7.1 引言

  7.2 單形

  7.3 矢量空間中的積分

  7.4 流形上的積分

  7.5 應用

  參考文獻

第8章 de Rham 定理

  8.1 例和概述

  8.2 奇異同調和de Rham定理

  8.3 單純形同調

  8.4 de Rham定理的證明

  8.5 複流形和Dolbeault上同調,一個簡短的插曲

  參考文獻

第9章 同調理論

  9.1 一般的代數知識

  9.2 正合性

  9.3 同倫,單純逼近

  9.4 切除和Mayer-Vietoris序列

  9.5 應用

  9.6 CW復形和進一步的計算

  參考文獻

第10章 上同調

  10.1 引言

  10.2 Pontrjagin對偶性

  10.3 乘積空間和Kunneth公式

  10.4 「上」積(Cup Product)與「卡」積(Cup Product)

  10.5 Thom同構定理

  10.6 Hopf不變數

第11章 Poincare對偶性

  11.1 引言

  11.2 基本類

  11.3 Poincare對偶定理

  11.4 Thom-Pontrjagin構造

  11.5 相交理論

第12章 纖維叢通論

  12.1 引言

  12.2 具有構造群的纖維叢

  12.3 主叢

  12.4 構造群的改變

  12.5 萬有叢和分類空間

  12.6 覆蓋同倫性質

  12.7 雜記

  參考文獻

第13章 示性類

  13.1 圓群G=S和對合G=Z的示性類

  13.2 酉群U(n)的示性類(陳類)與正交群O(n)的示性類(Stiefel-Whitney類)

  13.3 計算

  13.4 其它的講法

  13.5 Pontrjagin 類

  13.6 K-群和陳特徵標

  參考文獻

第14章 表示論通論

  14.1 引言

  14.2 一般概念

  14.3 緊群和不變積分

  14.4 特權標與權

  14.5 極大環面與E.Cartan定理

  14.6 實表示

  14.7 根與Weyl定理

  14.8 E.Cartan定理

  14.9 其它評述

  參考文獻

第15章 示性類緒論

  15.1 Borel-Hirzebruch格式

  15.2 齊性空間上的計算

  15.3 H*(BO(n);Q)和H*(BSO(n);Q)的計算

  15.4 Pontrjagin數和配邊不變性

  參考文獻

第16章 Hirzebruch指標定理

  16.1 流形的指標

  16.2 配邊環的構造

  16.3 乘法序列

  16.4 Milnor的怪球

  參考文獻

第17章 Laplace 方程和Hodge理論

  17.1 偏微分方程(PDE)概況

  17.2 調和函數

  17.3 Laplace-Beltrami運算元

  17.4 Hirzebruch指標定理的另一表述

  17.5 Hodge 定理的證明,總的思路

  17.6 Hodge 定理的證明,一個特例

  17.7 Hodge定理的證明,一般情況

  17.8 澄清,微分幾何概述

  17.9 復情況

第18章 Riemann-Roch定理

  18.1 亞純函數

  18.2 Cech構造和層

  18.3 層的上同調

  18.4 Riemann-Roch定理

  18.5 Riemann-Roch定理的Hirzebruch推廣

  18.6 其它的評述

  參考文獻

第19章 Atiyah-Singer指標定理

  19.1 矢量叢上的一般微分運算元

  19.2 橢圓運算元的解析指標,Hodge理論

  19.3 K理論概述

  19.4 Todd虧數和拓撲指標

  19.5 Atiyah-Singer指標定理

  參考文獻

第20章 曲率和相關問題

  20.1 曲率

  20.2 曲面的Gauss-Bonnet定理

  20.3 曲率和示性類

  20.4 主從上的聯絡

  20.5 Yang-Mills泛函

  參考文獻

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