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漸伸線

1簡介

又稱漸屈線,漸變線。當一根繩正沿著另一曲線繞上或脫下時,它描出一條漸伸線。漸伸線的形狀見於鷹嘴、鯊魚背鰭和棕櫚樹懸葉尖端。

2畫法

固定一圓柱形物體,在側面繞緊一圈細線,細線長度足夠。將線外端連在一支筆上。用筆尖拉緊細線,將線逐漸從圓周上伸直、展開,筆尖就會畫出圓的漸伸線。

3參數方程

設圓心為O,半徑為a.筆尖在展開時位於A,O做坐標原點,OA做x軸正方向。
當線展開,筆尖到軌跡上任一點P,做切線PM,那麼弧AM就被拉成了線段PM,
設AM所對的圓心角為k(弧度制),那麼
PM=AM=a*k
可得M的坐標為(a*cosk,a*sink)
PM垂直於半徑OM,可得PM與x軸正方向的夾角為k-(pai/2)
記P(x,y),利用M坐標,PM斜角及長度得
x=a*cosk+ak*cos[k-(pai/2)]
y=a*sink+ak*sin[k-(pai/2)]
化簡,得
x=a(cosk+ksink)
y=a(sink-kcosk)
這就是圓漸伸線參數方程。

4漸伸線的現實作用

機器齒輪,齒兩側曲線(齒郭曲線)大多採用漸伸線,以獲得穩定轉動比,保證運轉平穩,減小震動。稱為漸開線齒輪

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