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  數學新發現——無理整數


  摘要:發現原來的無理數,只有無理小數,論述無理整數的存在意義。


  定義:無理整數,是指有明確低位,卻有無限不循環高位的整數。


  我發現整數是和純小數是小數點對稱的,1~.1, 10~.01, 0~.0, 很快就發現對於無限循環純小數,可以對稱無限循環整數,進而發現無理數可以對稱無限不循環整數!這些整數,具有明確不同的低位,卻有無限的高位。


  然而接下來的事就不那麼美妙,這樣的數是無法比較大小的,都是無窮大,但它們中的大部分是可以計數的,因為它們的低位不同,而且它們是真正的整數,沒有小數位!


  我們無法通過有限數的運算得到它們。


  這樣的整數以前從未有人注意過,只有一個模糊的抽象概念無窮大,和它們類似,但不象它們有明確的定義和顯現易區分的低位。我們先稱它們為泛整數,這樣好理解,傳統的整數,類似於傳統有限小數的定義,雖然誰都知道它有限,但又無法確定它的限在哪裡。


  那麼現在我們可以認識到,整數是和純小數完全對稱了,包括有理純小數和無理純小數。關於小數比整數多的證明都是對的,因為小數是對每個不同的整數,複製了一份純小數。對於不同的小數,再複製一份整數,它們就會又對稱了。就是循環小數1.111...對稱帶小數循環整數...111.1。


  現在整數未必象以前理解的那麼有理了,無限不循環整數,具有無理數特徵,它與無限循環數或有限數做加減乘除運算,將得到無限非循環數。而無限循環整數之間的加減乘除,將得到有限數或無限循環數,而不能得到無限不循環數。


  除了以上規律,我們對無理整數沒有辦法、開方、log、計算正弦、餘弦等,完全不知道結果。這種數在取模以後的運算有意義,在計算機和加密演算法中是有應用的,只是以前無人注意過。


  兩個補充問題:


  .099...9循環應等於.1,而這會對應成兩個整數,因此需要認為這是不同的數。


  9999...9循環+1,是個奇點,不能使無限循環數加有限數仍得無限循環數。


  細節問題或有考慮不周,但大面上沒有問題。


  這個發現可以轟動世界,每個成人都能明白它的含義,卻會對自己沒有發現它而感到惋惜。


  一般來講,危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看,矛盾是無處不在的、不可避免的,即便以確定無疑著稱的數學也不例外。


  數學中有大大小小的許多矛盾,比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾,例如有窮與無窮,連續與離散,乃至存在與構造,邏輯與直觀,具體對象與抽象對象,概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上,貫穿著矛盾的鬥爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時,就產生數學危機。


  矛盾的消除,危機的解決,往往給數學帶來新的內容,新的進展,甚至引起革命性的變革,這也反映出矛盾鬥爭是事物發展的歷史動力這一基本原理。整個數學的發展史就是矛盾鬥爭的歷史,鬥爭的結果就是數學領域的發展。


  人類最早認識的是自然數。從引進零及負數就經歷過鬥爭:要麼引進這些數,要麼大量的數的減法就行不通;同樣,引進分數使乘法有了逆運算——除法,否則許多實際問題也不能解決。但是接著又出現了這樣的問題,是否所有的量都能用有理數來表示?於是發現無理數就導致了第一次數學危機,而危機的解決也就促使邏輯的發展和幾何學的體系化。


  方程的解導致了虛數的出現,虛數從一開始就被認為是「不實的」。可是這種不實的數卻能解決實數所不能解決的問題,從而為自己爭得存在的權利。


  幾何學的發展從歐幾里得幾何的一統天下發展到各種非歐幾何學也是如此。在十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題,如五次及五次以上代數方程不能通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來;古希臘幾何三大問題,即三等分任意角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。


  這些否定的結果表明了傳統方法的局限性,也反映了人類認識的深入。這種發現給這些學科帶來極大的衝擊,幾乎完全改變了它們的方向。比如說,代數學從此以後向抽象代數學方面發展,而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第三次數學危機中,這種情況也多次出現,尤其是包含整數算術在內的形式系統的不完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識,也促進了數理邏輯的大發展。


  這種矛盾、危機引起的發展,改變面貌,甚至引起革命,在數學發展歷史上是屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的,它反映了數學內部的有限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿著計算方法、分析方法在應用與概念上清楚及邏輯上嚴格的矛盾。在這方面,比較注意實用的數學家盲目應用。而比較注意嚴密的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致后,矛盾才能解決。後來算符演算及δ函數也重複了這個過程,開始是形式演算、任意應用,直到施瓦爾茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。


  對於第三次數學危機,有人認為只是數學基礎的危機,與數學無關。這種看法是片面的。誠然,問題涉及數理邏輯和集合論,但它一開始就牽涉到無窮集合,而現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是可數的集合,那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容,也有許多問題要涉及無窮的方法,比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來,第三次數學危機是一次深刻的數學危機。


  數學發現史:


  人類對數的認識,最早從自然數開始,自然數加自然數得自然數;自然數乘以自然數得自然數。(現在定義0是自然數,和我們以前學習的定義不大一樣)


  第一次數學大發現負數:減數大於被減數,自然數減自然數得整數(擴展)。(對應出負整數、正整數,擴展出整數為自然數與負整數總稱)


  第二次數學大發現分數:整數除以整數得整數或分數(對應),分數可以表示為有限小數和無限循環小數。(對應出分數,擴展出有理數,有理數為整數和分數總稱)


  第三次數學大發現無理數:不能表示為兩個整數相除的小數,為無理數。無理數為無限不循環小數。(對應出無理數,擴展實數為有理數和無理數總稱)


  第四次數學大發現無限循環整數和無理整數:


  無限循環數和有限數,任意做加減乘除,都可以得到無限循環數或有限數。(對應出無限循環整數,擴展泛有理數為有限數和無限循環數的總稱,是對有理數的擴展)


  與無限循環數或有限數任意做加減乘除,都不能得到無限循環數或有限數,新定義為泛無理數。(對應出,泛無理數為無理數和無限不循環整數的總稱)


  或者將原無理數定義為無理小數更合理。

 無理整數的發現,解決了如下兩個爭議:

1 整數集合是最小的無限集。因為整數和純小數完全對應,則整數的數量,等於有理純小數和無理純小數的總和。有理純小數與無理純小數,都是無限集合。

2 0.9999......(9循環)不等於1,只是無限接近1。

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