標籤:分析學實數

無理數,即非有理數之實數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之後的數字有無限多個,並且不會循環。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e(其中后兩者同時為超越數)等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他以幾何方法證明無法用整數及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。但是他始終無法證明不是無理數,後來希伯斯將無理數透露給外人——此知識外泄一事觸犯學派章程——因而被處死,其罪名等同於「瀆神」。

1概念

無理數π

  無理數π

簡單的說,無理數就是10進位下的無限不循環小數。如圓周率、√2(根號2)等。有理數是由所有分數,整數組成,它們都可以化成有限小數,或無限循環小數。如22/7等。實數(real number)分為有理數和無理數(irrational number)。
√2是無理數
歐幾里得《原本》中的證明方法:
證明:假設√2不是無理數,而是有理數。既然√2是有理數,它必然可以寫成兩個整數之比的形式:√2=p/q。再假設p和q沒有公因數可以約,所以可以認為p/q 為最簡分數,即最簡分數形式。把 √2=p/q 兩邊平方得 2=(p²)/(q²),即 2(q²)=p²。
由於2(q²)是偶數,p 必定為偶數,因此可設p=2s。由 2(q²)=4(s²) 得 q²=2s²。由於4s²是偶數,同理q²是偶數,而只有偶數的平方才是偶數,所以q必然也為偶數。
既然p和q都是偶數,他們必定有公因數2,這與前面假設p/q是最簡分數矛盾. 這個矛盾是由假設√2是有理數引起的. 因此√2是無理數.

2歷史

畢達哥拉斯(Pythagqras,約公元前885年至公元前400年間)是古希臘的大數學家。他證明許多重要的定理,包括後來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理(勾股弦定理),即直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等於以斜邊為邊長的正方形的面積。畢達哥拉斯將數學知識運用得純熟之後,覺得不能只滿足於用來算題解題,於是他試著從數學領域擴大到哲學,用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐,他提出「凡物皆數」的觀點,數的元素就是萬物的元素,世界是由數組成的,世界上的一切沒有不可以用數來表示的,數本身就是世界的秩序。在他死後大約200年,他的門徒們把這種理論加以研究發展,形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。
公元前500年,古希臘畢達哥拉斯(Pythagoras)學派的弟子希伯索斯(Hippasus)發現了一個驚人的事實,一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的(若正方形的邊長為1,則對角線的長不是一個有理數),這一不可公度性與畢氏學派的「萬物皆數」(指有理數)的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐,認為這將動搖他們在學術界的統治地位,於是極力封鎖該真理的流傳,希伯索斯被迫流亡他鄉,不幸的是,在一條海船上還是遇到畢氏門徒,於是希伯索斯被殘忍地扔進了大海。
希伯索斯的發現,第一次向人們揭示了有理數系的缺陷,證明了它不能同連續的無限直線等同看待,有理數並沒有布滿數軸上的點,在數軸上存在著不能用有理數表示的「孔隙」。而這種「孔隙」經後人證明簡直多得「不可勝數」。於是,古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次數學危機,對以後2000多年數學的發展產生了深遠的影響,促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明,推動了公理幾何學和邏輯學的發展,並且孕育了微積分思想萌芽。
不可約的本質是什麼?長期以來眾說紛紜,得不到正確的解釋,兩個不可通約的比值也一直認為是不可理喻的數。15世紀義大利著名畫家達.芬奇稱之為「無理的數」,17世紀德國天文學家開普勒稱之為「不可名狀」的數。
然而真理畢竟是淹沒不了的,畢氏學派抹殺真理才是「無理」。人們為了紀念希伯索斯這位為真理而獻身的可敬學者,就把不可通約的量取名「無理數」——這就是無理數的由來。

3數學危機

由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。1872年,德國數學家戴德金從連續性的要求出發,用有理數的「分割」來定義無理數,並把實數理論建立在嚴格的科學基礎上,從而結束了無理數被認為「無理」的時代,也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

4口訣記憶

√2≈1.41421:意思意思而已
√3≈1.7320:一起生鵝蛋
√5≈2.2360679:兩鵝生六蛋(送)六妻舅
√7≈2.6457513:二妞是我,氣我一生
√8=2√2≈2.82842啊,不啊不是啊
e≈2.718:糧店吃一把
π≈3.14159,26535,897,932,384,262:山巔一寺一壺酒,爾樂苦殺吾,把酒吃,酒殺爾,殺不死,爾樂爾
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