1定義

無窮大符號形象雕塑

  無窮大符號形象雕塑

無窮大就是在自變數的某個變化過程中絕對值無限增大的變數或函數。
例如,f(x)=1/x,是當x→0時的無窮大,記作lim(1/x)=±∞(x→0)。
精確的定義如下:
設函數f(x)在x0的某一去心鄰域內有定義(或|x|大於某一正數時有定義)。如果對於任意給定的正數M(無論它多麼大),總存在正數δ(或正數X),只要x適合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X),對應的函數值f(x)總滿足不等式|f(x)|>M,則稱函數f(x)為當x→x0(或x→∞)時的無窮大。
在自變數的同一變化過程中,無窮大與無窮小具有倒數關係,即當x→a時f(x)為無窮大,則1/f(x)為無窮小;反之,f(x)為無窮小,且f(x)≠0時,1/f(x)才為無窮大。
無窮大記作∞,不可與很大的數混為一談。
分類:
無窮大分為正無窮大負無窮大無窮大(可正可負),分別記作+∞、-∞以及∞ ,非常廣泛的應用於數學當中。

2性質

兩個無窮大量之和不一定是無窮大;
有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大(如,0就算是有界函數);
兩個無窮大量之積一定是無窮大。
另外,不是無窮大量不一定就是有界的(如,數列1,1/2,3,1/3,……)。

3三角函數

cot 0=∞
tan π/2=∞
cot π=∞
cot 2π=∞等等
其中單位為弧度

4無窮級數

1+1/2+1/3+1/4+1/5+……=∞
儘管每一項都比前一項小
還有令人印象深刻的:
1+1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+……+1/素數+……=∞
儘管我們不知道「下一個」素數是多少

5康托質疑

有人是這樣質疑集合論的:
康托時代,建立了對等比較法,認為由於自然數集,可以和偶數集建立一一對應關係,所以自然數和偶數集等勢。又用對角線法,證明實數集比自然數集大。
但是對等的方法,只能在有限集比較中有效。擴展到無限集是不可信的。
例:「問:某班學生人數與教室的凳子數哪個多?最笨但也最顯然的方法是規定每個學生都去坐在凳子上,而且一個學生只能坐一張凳子。最後,如果有學生沒坐到凳子,那麼便是學生多。如果最後有凳子空著,那麼便是凳子多。」
如果是有限數量,可以用一對一的方法比較,無限數量,不行。
假設來個副校長,要求每兩個學生坐一個凳子,然後他檢查了教室一,教室2,教室三......他看到的每個教室都是如此,後面的教室他認為不用檢查了(或根本不可能檢查完——無窮的概念),於是他宣布,本學校凳子數量,正好是學生數量的一半。
第二天,又來個副校長,要求每個學生坐一個凳子,然後他檢查了教室一,教室2,教室三......他看到的每個教室都是如此,後面的教室他認為不用檢查了(或根本不可能檢查完——無窮的概念),於是他宣布,本學校凳子數量,正好等於學生數量。
兩位自以為是的校長都有可能是對的,也可能是錯的,方法不對。
在有限集的比較過程中,關鍵不在建立了怎樣的對應關係,關鍵在於我們要比較到最後,至少一個集合結束了,而另一個集合中元素數量已經超過對比集合數量,而且還沒結束,我們才能證明一個集合建立的對應關係比另一個集合數量多。
自然數集中可以抽出偶數集,跟偶數集完全一一對應,而自然數集還有剩餘元素,因此我們可以得到結論:自然數集比偶數集多。
參見百度百科:可列集。
回應:數學的特點是自洽即可,我們可以定義有一一映射為等勢,這與自身並不矛盾。從這個定義出發,人們可以創造豐富的學問。至於如何通俗地理解等勢,等勢和通俗的數量相等有何關係,這不是數學所考慮的範圍。在這個問題中,兩個校長從自身關於有限集的經驗出發,試圖通俗地理解無限集的等勢概念,其所得到的結論都有道理。這只是通俗地理解數學概念的不同方式罷了,並不意味著等勢概念就是錯誤的,或者說自相矛盾的。順便說一下,從數學專業的角度來看,後來的那個校長的觀點更容易理解。

6基數比較

並不是所有無窮大都相等,它們甚至可以比較大小:
對於無窮集而言,可以以能否雙射作為比較大小的標準。
確切地講,我們用基數的概念來描述集合,對於有限集合而言,可以認為它的基數就是元素的個數,但對無窮集合而言,基數只能以下面的方式理解(當然你也可以據此把無窮集合的基數說成是它元素的個數,但這個個數已經不是日常用語中的意思)
如果集合A與集合B之間存在雙射(一一對應),就認為它們的基數一樣大;
如果A與B的某個子集某個子集有雙射,就認為A的基數不比B更大,也就是A到B有單射,B到A有滿射;
當A的基數不比B更大且A、B基數不一樣大時,就認為A比B基數小。
可以證明,在現有的集合論框架內,兩個集的基數總是大於、小於、等於中的一種,不會出現無法比較的情況。
全體自然數集是具有最小基數的無窮集,它的基數用希伯來字母阿列夫右下角標0來表示。
可以證明,任何一個集合的冪集(所有子集所形成的集合)的比原集合大,如果原來的基數是a,則冪集的基數記為2^a(2的a次方)。
由這一點可以定出幾個常見的無窮大的等級。(注意:幾級無窮大不是嚴格的數學術語,只是個通俗方便的解釋,嚴格的概念要以基數為準,參見連續統假設)
零級無窮大:所有整數的數量(阿列夫0)
一級無窮大:所有小數的數量(等於直線上所有的點數、面上所有的點數、立體上所有的點數,即2^阿列夫0)
二級無窮大:在一張紙上隨意地畫線條,可以連續也可以不連續,所有可能畫出的線條數目(曲線樣式的數目)
(注意,如果只限於連續的,仍是一級的無窮大,不連續的曲線才有二級的無窮大,即2^(2^阿列夫0))
阿列夫0<2^阿列夫0<2^(2^阿列夫0)
最大的無窮大是多大呢?答案是沒有盡頭。事實上,[0,1)上的實數可以和正整數的所有子集的集合一一對應,把這些實數寫成2進位。小數點后第n位為1,對應n不在子集中,為0對應不在子集中,這樣[0,1)上的實數就和正整數的子集有了一一對應,因此實數和正整數集的所有子集的個數一樣多。也可以證明前面所說曲線可以和實數集的所有子集有一一對應關係。我們把前面說的所有曲線看成一個集合,他的所有子集的個數又將比這個集合大。這個過程可以一直進行下去,得到越來越大的無窮大。
另外還有一個問題,即連續統假設:整數的無窮大和實數的無窮大之間存不存在別的無窮大。也就是說,是否存在比整數基數大,而比實數基數小的無窮基數,也就是阿列夫0與2^阿列夫0之間有無別的基數。
更一般的,任給定無窮基數a,在a和2^a之間是否有別的基數?這稱為廣義連續統假設。
數學家證明連續統假設無法在現代的集合論公理下被證明或證偽,換而言之,承認連續統假設將導出一個體系;不承認將導出另外一種體系,就人類的經驗而言不能判斷哪一種比另一種更真實。我們認為連續統假設依賴於一些並不顯而易見的其他公理或者說假設。也有人就把承認連續統假設或不承認連續統假設作為一個公理。
在集合論里可以證明,比一個集合基數大的最小基數是存在的,如果你承認連續統假設,那麼可以把2^阿列夫0改寫成阿列夫1,2^(2^阿列夫0)改寫成阿列夫2,某些書籍正是這麼做的,但是未明確指出這一點。
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