標籤:小數

無限小數是指經計算化為小數后,小數部分無窮盡,不能整除的數。包括分數和無理數。

1定義

小數的一種,內部包含循環小數(有循環節,如:0.123123……,123就是循環節,循環符號用點表示,如果循環節只有一個數字,就在這個數字上點一個點,如果有多個,就在循環節的首尾數字上各點一個點.)和不循環小數。

2意義

無限小數分類

  無限小數分類

剛才我們說的都是數軸上的點如何用小數來表示。我們也得到了結論:數軸上任何點都能找到對應的小數表示。現在,我們要問,隨便拿一個無限小數,我們怎樣在數軸上找到和它對應的點?
一個無限小數對應一個確定的點
按第一部分的分析,我們舉一個無理數的例子:比如說,3.1415926……(圓周率),它表示數軸上哪個點呢?
它應該表示這樣一個「確定的點」(確定的點,這很重要):它在整數3與4之間(即大於等於3小於等於4);如果把34線段十等分,它應該在第一、二分點之間(大於等於3.1小於等於3.2),如果把3.1 3.2之間線段十等分,它在第四和第五分點之間,等等…
現在我們擔心,在數軸上可不可能有兩個點同時可以用同一個無限小數表示?不能。因為如果有兩個點A和B同時能用圓周率的小數表示,那麼,線段AB的長度是多少呢?A、B是不同的點,因此AB長度不能是0。在幾何中,有一條公理叫「阿基米德公理」,說任意兩條線段a,b,不論a有多短,b有多長,把a延長若干倍之後,長度一定會超過b。比如,1米長的線段和一千米長的線段,把1米長的線段延長10000倍就比一千米長的線段長了。現在,我們看AB這條線段,我把34線段十等分,它們倆同在一二分點之間,應有 AB<=1/10,因此10AB<=1;把3.1 3.2之間線段十等分,它們也同在第四和第五分點之間,因此應該有AB<=1/100,因此100AB<=1;……也就是說,不論我們把AB延長多少倍,長度都不會比1大。這和阿基米德公理是矛盾的。那麼只能說明AB=0,A與B是同一個點。
那麼,是不是隨便拿來一個無限小數都能在數軸上找到和它對應的點呢?答案也是肯定的,這一部分也涉及很多知識,不在這裡討論。以後我可能還會寫一篇《給中學生和大學生們講實數的定義》。
數軸上的點和無限小數一一對應
啰嗦這麼半天,終於來到某些人關心的問題了:0.9(9循環)這個數是否等於1?按這個無限小數的意義,我們要找一個點,如果把01線段10等分,它在第九分點和1之間,如果再把這一小段再10等分,它仍在第九分點和1之間……
哪一點滿足這個條件呢?顯然1就滿足這個條件。除此之外還有其它滿足條件的點嗎?剛才說了,這樣的點只有一個。因此0.9(9循環)在數軸上對應的點就是1。
因此,雖然是同一個點,但把它表示成十進位小數時,表示方法卻不唯一。在討論十進位小數時,我們通常把都是9的循環節去掉,只用進一位的有限小數。所以0.9(9循環)這樣的十進位小數是沒有存在的必要的,它和1表示的是同一個實數。
去掉不必要的小數,我們就可以說,數軸上的點和無限小數一一對應。

3必然性

我們學過,實數是由有理數和無理數組成的,整數和分數統稱有理數,它們是有限小數和無限循環小數,而把無限不循環小數叫做無理數。這是初中課本上的定義。從這個定義中我們可以看出,任何一個實數,都可以用十進位小數(不管是有限的還是無限的)表示出來。
後來,我們又知道,實數和數軸上的點是一一對應的。也就是說,我們的實數是可以表現任意一條線段的長度的,並且同一條線段只有一個長度。
但是,課本上的這幾句話,仍然讓我們感到糊塗,有理數(即有限小數和無限循環小數)到底和無理數有什麼不同?為什麼把它們區分開?還有,無限小數到底是什麼意思?數軸上的點為什麼就可以和十進位小數對應呢?怎麼對應的呢?我們慢慢來看。
數軸對應實數
我們的實數必須要滿足我們表示長度的需要。因此,數軸上的每一個點都應該對應於唯一的一個實數。
無限小數

  無限小數

把直線用通常的方法標出0,1,2……這些整數點來,這就是我們的數軸了。這樣,如果哪一個點正好落在某個整數點上,我們就可以用這個整數表示這個點。但是,其它的點如何表示呢?比如,0和1之間的中點。我們發現,把0與1之間的線段(以下簡稱01線段)分成10份,這個點恰好就會落到第五個分點上。那麼,我們就把它記為0.5好了。01線段的四等分點呢?我們還把01線段10等分,但是卻發現這個點仍然不會落在這些10等分點上,它落在第二分點(暫時記為 A)和第三分點(暫時記為 B)之間。現在,我們把剛才分好的每個線段再分成10份,這相當於把01線段100等分了。我們發現,我們要找的點正好落在了線段AB上的第5個分點上,即01線段第25個一百等分點上。那麼,我們把它記為0.25。
十進位小數表示直線上的點
現在我們考慮,有沒有那樣的點,不論我們把01線段怎麼10等分,100等分,1000等分,100000000等分,…,它就是不落在任何一個分點上?有的。比如,01線段的3等分點。我們把01線段十等分,它落在了第三、四兩個分點之間,再把這個小線段10等分,它仍然在第三、四兩個分點之間,…,每次十等分,它都在第三、四分點之間。那麼我們只好用一個無限小數來表示這個點了:0.333…。(其中的3是指過了第三個分點但沒到第四個分點。注意:這個無限小數表示的是三等分點,而不是我們得到的那些十、百、千等分點。所以0.333…精確地等於1/3.要不然1/3將無法用十進位小數表示。)這就是十進位小數表示直線上的點的原理。

4相關

無限不循環小數出現的必然性
分數都是有限或無限循環小數。那麼現在我們要問的是,無限不循環小數是些什麼樣的數呢?為什麼把它們叫做無理數?
等分點
還是考慮數軸。我們現在發現,剛才討論的1/3點,雖然我怎樣用十等分的辦法,它都不會落在分點上。但是,如果我把01線段3等分,分一次它就落在分點上了。(因此,1/3雖然用十進位不能表示成有限小數,但用3進位就可以是有限的了:三進位的0.1恰好就是1/3。)同樣,1/p點,如果把01線段分成p等分,它就落在第一個分點上,它用p進位就可以表示成0.1。
不等分點
那麼現在考慮,是否有那樣的點,不論我們把01線段幾等分,它都不會落在分點上?也就是說,是否在數軸上有那麼一些點,我們不可以把它寫成q/p這樣的分數?我們想到圓周率,它是無限不循環的,肯定不能表示成分數。但是,要想證明它是無限不循環小數,還需要很多知識。現在舉一個初中生熟悉的例子:2的算術平方根(即根號2,邊長為1的正方形對角線的長)它就不能被寫成分數。為什麼呢?因為如果它能寫成p/q,p、q互質,那麼因為2的平方根不是整數,所以q不為1。而且p^2/q^2(^2表示平方)就應該是整數2。但是,原來互質的兩個數,平方之後仍然互質,q^2不可能被約分成1,因此p^2/q^2也不可能等於2。
有限或無限循環小數都要麼是整數要麼是分數,那麼像2的平方根這樣的數,就只能是無限不循環的了。把它稱作無理數,是因為不能表示成分數。
分數能化成有限小數或無限循環小數的必然性
無限循環小數化成分數的方法很多人都理解了,但是要問起為什麼分數一定可以化成無限循環小數,就不是所有人都知道了。
其實也不難。這隻要想想我們通常是怎麼把一個分數q/p化成了小數的。我們通常用分子除以分母,除不盡時把餘數添零,即把餘數擴大十倍然後繼續除。而在做除法時我們有一個原則,那就是每一步的餘數必須要比除數小。那麼,如果一個除法永遠也除不盡的時候,就會無限次出現餘數。在任意連續的p+1個餘數中,必然有兩個餘數是相等的。(因為這p+1個正整數都比p小),相等的餘數會導致相等的商,這樣餘數和商就周期性重複出現了。
因此,分數就是有限或無限循環小數,有限或無限循環小數也是分數。
有關無限小數與阿基米德公理的問題
可能有人還是不承認,他們可能會說,為什麼「阿基米德公理(附聯接:阿基米德)」是正確的?0.0…1無限個0後面有一個1,把它放大多少倍都不會大於1。
如果你這麼反駁我,我也沒辦法說服你。但可以肯定地告訴你,你所討論的問題已經不是歐氏幾何和實數了。在數學上確實有不等於零的無窮小常量(即它是個正的「常數」,而且比任何正實數都小,卻不等於0),那就是非標準分析里的無窮小。但這個無窮小不是我們討論的實數。
因此,只有滿足一些公理的對象,我們才把它們稱作實數,才把它們稱作歐氏幾何。阿基米德公理在我們的討論範圍內是正確的,只因為它是公理。
問題
循環小數的問題中,最著名的是0.9循環是否等於1的問題。
代數方法為: 設0.9循環=X,
則0.9循環*10=9.9循環
9.9循環-0.9循環=9
10X-X=9
9X=9
X=1
即0.9循環=1

5無理數

有些小數雖然也是無限的但不循環.如π值、√2、2.12459537621……這樣的小數就被稱為無理數。
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