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1 燕尾定理 -簡介

  燕尾定理,因此圖類似燕尾而得名,是五大模型之一,是一個關於三角形的定理(如圖△ABC,D、E、F為BC、CA、AB 上點,滿足AD、BE、CF 交於同一點O)。S△ABC中,S△aob:S△AOC=S△BDO:S△CDO=BD:CD;
  同理,S△AOC:S△BOC=S△AFO:S△BFO=AF:BF;
  S△BOC:S△BOA=S△CEO:S△aeO=EC:AE。

2 燕尾定理 -證法

  證法1下面的是第一種方法:利用分比性質(若a/b=c/d,則(a-b)/b=(c-d)/d,b≠0,d≠0,)
  ∵△ABD與△ACD同高
  ∴S△ABD:S△ACD=BD:CD
  同理,S△OBD:S△OCD=BD:CD
  利用分比性質,得
  S△ABD-S△OBD:S△ACD-S△OCD=BD:CD
  即S△AOB:S△AOC=BD:CD
  命題得證。
  證法2
  下面的是第二種方法:相似三角形法已知:△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O,連接並延長BO,交AC於點E。
  求證:AE=CE 證明:
  如圖,過點O作MN∥BC,交AB於點M,交AC於點N;
  過點O作PQ∥AB,交BC於點P,交AC於點Q。
  ∵MN∥BC
  ∴△AMO∽△ABD,△ANO∽△ACD
  ∴MO:BD=AO:AD,NO:CD=AO:AD
  ∴MO:BD=NO:CD
  ∵AD是△ABC的一條中線
  ∴BD=CD
  ∴MO=NO
  ∵PQ∥AB
  ∴△CPO∽△CBF,△CQO∽△CAF
  ∴PO:BF=CO:CF,QO:AF=CO:CF
  ∴PO:BF=QO:AF
  ∵CF是△ABC的一條中線
  ∴AF=BF
  ∴PO=QO
  ∵MO=NO,∠MOP=∠NOQ,PO=QO
  ∴△MOP≌△NOQ(SAS)
  ∴∠MPO=∠NQO
  ∴MP∥AC(內錯角相等,兩條直線平行)
  ∴△BMR∽△BAE(R為MP與BO的交點),△BPR∽△BCE
  ∴MR:AE=BR:BE,PR:CE=BR:BE
  ∴MR:AE=PR:CE
  ∵MN∥BC,PQ∥AB
  ∴四邊形BMOP是平行四邊形
  ∴MR=PR(平行四邊形的對角線互相平分)
  ∴AE=CE
  命題得證。
  證法3
  下面的是第三種方法:面積法
  已知:△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O,連接並延長BO,交AC於點E。
  求證:AE=CE
  證明:
  如圖,
  ∵點D是BC的中點,點F是AB的中點
  ∴S△CAD = S△BAD,S△COD = S△BOD
  ∴S△CAD - S△COD = S△BAD - S△BOD
  即S△AOC(綠) = S△AOB(紅)
  ∵S△ACF = S△BCF,S△AOF = S△BOF
  ∴S△ACF - S△AOF = S△BCF - S△BOF
  即S△AOC(綠) = S△BOC(藍)
  ∴S△AOB(紅) = S△BOC(藍)
  ∵S△AOE:S△AOB(紅) = OE:OB,S△COE:S△BOC(藍) = OE:OB
  ∴S△AOE:S△AOB(紅) = S△COE:S△BOC(藍)
  ∵S△AOB(紅) = S△BOC(藍)
  ∴S△AOE = S△COE
  ∴AE=CE
  命題得證。
  證法4
  下面的是第四種方法:中位線法
  已知:△ABC的兩條中線AD、CF相交於點O,連接並延長BO,交AC於點E。
  求證:AE=CE
  證明:
  如圖,延長OE到點G,使OG=OB。
  ∵OG=OB
  ∴點O是BG的中點
  又∵點D是BC的中點
  ∴OD是△BGC的一條中位線
  ∴AD∥CG(三角形的中位線平行於第三邊,且等於第三邊的一半)
  ∵點O是BG的中點,點F是AB的中點
  ∴OF是△BGA的一條中位線
  ∴CF∥AG
  ∵AD∥CG,CF∥AG
  ∴四邊形AOCG是平行四邊形
  ∴AC、OG互相平分
  ∴AE=CE
  命題得證。
  證法5:因為ABCO是凹四邊形,根據共邊比例定理,命題得證

3 燕尾定理 -推廣:共邊比例定理

  四邊形ABCD(不一定是凸四邊形),設AC,BD相交於E則有BE/DE=S△ABC/S△ADC
  此定理是面積法最重要的定理
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