method of characteristics 一種基於特徵理論的求解雙曲型偏微分方程組的似方法。它產生較早,19世紀末已經有效地為人們所用。電子計算機出現以後,又得到了進一步的發展,在一維不定常流和二維定常流等問題中得到了廣泛的用。
以偏微分方程的特徵理論為基礎,求解雙曲型偏微分方程的一種近似計算方法。如問題比較簡單,用這種方法可求出分析解或近似的分析解;如問題複雜,也可求得準確度很高的數值解。此外,特徵線法還可用來對雙曲型問題作定性分析,尤其是可用來研究怎樣給出初始條件和邊界條件使問題適定。這對設計求解雙曲型微分方程的其他類型的數值方法有指導意義。特徵線法早在19世紀末就已出現,20世紀30~40年代用手算就已解決不少問題。電子計算機出現后,此方法更趨完善,並得到廣泛應用。

1基本方法

設所需求解的準線性偏微分方程為
  • (1)
其中 。
取某變數 ,令  對  求導,可得
  • (2)
若定義 ,可知
  • (3)
即,求解的偏微分方程 (1) 的過程變作對聯立的常微分方程組作積分
  • (4)
積分過程需要給定初始條件。一般初始條件給定的形式為空間中的流形
  • (5)
將此曲面對應為 。
設想和  依賴於變數 ,則  可作方程(5) 中的初始值,即
  • (6)
從方程組(4)和初始條件(6)確定  和  后,可以得到解的隱式形式。如果可以解析消掉 ,則可獲得顯式形式的解。

2一階偏微分方程的特徵線法

沿著一階偏微分方程的特徵線, 偏微分方程簡化為一個常微分方程. 沿著特徵線求出對應常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解.
為了更好地解釋這一方法, 考慮具有以下形式的偏微分方程

   
(1)
假設解u 已知, 考慮R中的曲面z=u(x,y). 曲面的法向量為
那麼, 方程 (1) 表示向量場
與曲面z=u(x,y) 在任意點處相切. 換句話說, 解函數的圖像必定是該向量場的積分曲線的並. 這些積分曲線被稱作偏微分方程的特徵線.
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