標籤:現代物理

狹義相對論是由愛因斯坦在洛侖茲和龐加萊等人的工作基礎上創立的時空理論,是對牛頓時空觀的拓展和修正。 愛因斯坦以光速不變原理出發,建立了新的時空觀。進一步,閔科夫斯基為了狹義相對論提供了嚴格的數學基礎, 從而將該理論納入到帶有閔科夫斯基度量的四維空間之幾何結構中。

1實驗基礎

牛頓力學是狹義相對論(Special Relativity)在低速情況下的近似。伽利略變換與電磁學理論的不自洽。到19世紀末,以麥克斯韋方程組為核心的經典電磁理論的正確性已被大量實驗所證實,但麥克斯韋方程
狹義相對論基本原理

  狹義相對論基本原理

組在經典力學的伽利略變換下不具有協變性。而經典力學中的相對性原理則要求一切物理規律在伽利略變換下都具有協變性。在這樣的背景下,才有了狹義相對論的產生。

2誕生

19世紀末期物理學家湯姆遜在一次國際會議上講到「物理學大廈已經建成,以後的工作僅僅是內部的裝修和粉刷」。但是,他話鋒一轉又說:「大廈上空還漂浮著兩朵『烏雲』,麥克爾遜-莫雷試驗結果和黑體輻射的紫外災難。」正是為了解決上述兩問題,物理學發生了一場深刻的革命導致了相對論和量子力學的誕生。
早在電動力學麥克斯韋方程建立之日,人們就發現它沒有涉及參照系問題。人們利用經典力學的時空理論討論電動力學方程,發現在伽利略變換下麥克斯韋方程及其導出的方程(如亥姆霍茲,達朗貝爾等方程)在不同慣性系下形式不同,這一現象應當怎樣解釋?經過幾十年的探索,在1905年終於由愛因斯坦創建了狹義相對論。
相對論是一個時空理論,要理解狹義相對論時空理論先要了解經典時空理論的內容。
狹義相對論公式

  狹義相對論公式

3愛因斯坦

光錐
狹義相對論

  狹義相對論

愛因斯坦意識到伽利略變換實際上是牛頓經典時空觀的體現,如果承認「真空光速獨立於參考系」這一實驗事實為基本原理,可以建立起一種新的時空觀(相對論時空觀)。在這一時空觀下,由相對性原理即可導出洛倫茲變換。1905年,愛因斯坦發表論文《論動體的電動力學》,建立狹義相對論,成功描述了在亞光速領域宏觀物體的運動。

4對參照系

在麥氏預言電磁波之後,多數科學家就認為電磁波傳播需要媒質(介質)。這種介質稱為「以太」(經典以太)。「以太」應具有以下基本屬性:
1.充滿宇宙,透明而密度很小(電磁彌散空間,無孔不入);
2.具有高彈性。能在平衡位置作振動,特別是電磁波一般為橫波,以太應是一種固體( G是切變模量ρ是介質密度);
3.以太只在牛頓絕對時空中靜止不動,即在特殊參照系中靜止。
在以太中靜止的物體為絕對靜止,相對以太運動的物體為絕對運動。引入「以太」後人們認為麥氏方程只對與「以太」固連的絕對參照系成立,那麼可以通過實驗來確定一個慣性系相對以太的絕對速度。一般認為地球不是絕對參照系。可以假定以太與太陽固連,這樣應當在地球上做實驗來確定地球本身相對以太的絕對速度,即地球相對太陽的速度。為此,人們設計了許多精確的實驗(包括愛因斯坦也曾設計過這方面的實驗),其中最著名、最有意義的實驗是邁克爾遜—莫雷實驗(1887年)。

5發表過程

愛因斯坦於1922年12月有4日,在日本京都大學作的題為《我是怎樣創立相對論的?》的演講中,說明了他關於相對論想法的產生和發展過程。他說:「關於我是怎樣建立相對論概念這個問題,不太好講。我的思想曾受到那麼多神秘而複雜的事物的啟發,每種思想的影響,在生活幸福論概念的發展過程中的不同階段都不一樣……我第一次產生髮展相對論的念頭是在17年前,我說不準這個想法來自何處,但是我肯定,它包含在運動物體光學性質問題中,光通過以太海洋傳播,地球在以太中運動,換句話說,即以太對地球運動。我試圖在物理文獻中尋找以太流動的明顯的實驗證據,但是沒有成功。隨後,我想親自證明以太相對地球的運動,或者說證明地球的運動。當我首次想到這個問題的時候,我不懷疑以太的存在或者地球通過以太的運動。」於是,他設想了一個使用兩個熱電偶進行的實驗:設置一些反光鏡,以使從單個光源發出的光在兩個不同的方向被反射,一束光平行於地球的運動方向且同向,另一束光逆向而行。如果想象在兩個反射光束間的能量差的話,就能用兩個熱電偶測出產生的熱量差。雖然這個實驗的想法與邁克爾遜實驗非常相似,但是他沒有得出結果。
愛因斯坦說:他最初考慮這個問題時,正是學生時代,當時他已經知道了邁克爾遜實驗的奇妙結果,他很快就得出結論:如果相信邁克爾遜的零結果,那麼關於地球相對以太運動的想法就是錯誤的。他說道:「這是引導我走向狹義相對論的第一條途徑。自那以後,我開始相信,雖然地球圍繞太陽轉動,但是,地球運動不可能通過任何光學實驗探測出來。」
愛因斯坦有機會讀了洛倫茲在1895年發表的論文,他討論並完滿解決了u/c的高次項(u為運動物體的速度,c為光速)。然後愛因斯坦試圖假定洛倫茲電子方程在真空參照系中有效,也應該在運動物體的參照系中有效,去講座菲索實驗。在那時,愛因斯坦堅信,麥克斯韋-洛倫茲的電動力學方程是正確的。進而這些議程在運動物體參照系中有效的假設導致了光速不變的概念。然而這與經典力學中速度相加原理相違背。
為什麼這兩個概念互相矛盾。愛因斯坦為了解釋它,花了差不多一年的時間試圖去修改洛倫茲理論。一個偶然的機會。他在一個朋友的幫助下解決了這一問題。愛因斯坦去問他並交談討論了這個困難問題的各個方面,突然愛因斯坦找到了解決所有的困難的辦法。他說:「我在五周時間裡完成了狹義相對論原理。」
愛因斯坦的理論否定了以太概念,肯定了電磁場是一種獨立的、物質存在的特殊形式,並對空間、時間的概念進行了深刻的分析,從而建立了新的時空關係。他1905年的論文被世界公認為第一篇關於相對論的論文,他則是第一位真正的相對論物理學家。

6意義

狹義相對論建立以後,對物理學起到了巨大的推動作用。並且深入到量子力學的範圍,成為研究高速粒子不可缺少的理論,而且取得了豐碩的成果。然而在成功的背後,卻有兩個遺留下的原則性問題沒有解決。第一個是慣性系所引起的困難。拋棄了絕對時空后,慣性系成了無法定義的概念。我們可以說慣性系是慣性定律在其中成立的參考系。慣性定律的實質是一個不受外力的物體保持靜止或勻速直線運動的狀態。然而「不受外力」是什麼意思?只能說,不受外力是指一個物體能在慣性系中靜止或勻速直線運動。這樣,慣性系的定義就陷入了邏輯循環,這樣的定義是無用的。我們總能找到非常近似的慣性系,但宇宙中卻不存在真正的慣性系,整個理論如同建築在沙灘上一般。第二個是萬有引力引起的困難。萬有引力定律與絕對時空緊密相連,必須修正,但將其修改為洛倫茲變換下形勢不變的任何企圖都失敗了,萬有引力無法納入狹義相對論的框架。當時物理界只發現了萬有引力和電磁力兩種力,其中一種就冒出來搗亂,情況當然不會令人滿意。
愛因斯坦只用了幾個星期就建立起了狹義相對論,然而為解決這兩個困難,建立起廣義相對論卻用了整整十年時間。為解決第一個問題,愛因斯坦乾脆取消了慣性系在理論中的特殊地位,把相對性原理推廣到非慣性系。因此第一個問題轉化為非慣性系的時空結構問題。在非慣性系中遇到的第一隻攔路虎就是慣性力。在深入研究了慣性力后,提出了著名的等性原理,發現參考系問題有可能和引力問題一併解決。幾經曲折,愛因斯坦終於建立了完整的廣義相對論。廣義相對論讓所有物理學家大吃一驚,引力遠比想象中的複雜的多。至今為止愛因斯坦的場方程也只得到了為數不多的幾個確定解。它那優美的數學形式至今令物理學家們嘆為觀止。就在廣義相對論取得巨大成就的同時,由哥本哈根學派創立並發展的量子力學也取得了重大突破。然而物理學家們很快發現,兩大理論並不相容,至少有一個需要修改。於是引發了那場著名的論戰:愛因斯坦VS哥本哈根學派。直到現在爭論還沒有停止,只是越來越多的物理學家更傾向量子理論。愛因斯坦為解決這一問題耗費了後半生三十年光陰卻一無所獲。不過他的工作為物理學家們指明了方向:建立包含四種作用力的超統一理論。目前學術界公認的最有希望的候選者是超弦理論與超膜理論。

7論點

原理解釋
物質在相互作用中作永恆的運動,沒有不運動的物質,也沒有無物質的運動,由於物質是在相互聯繫,相互作用中運動的,因此,必須在物質的相互關係中描述運動,而不可能孤立的描述運動。也就是說,運動必須有一個參考物,即必須在某一個參考系下描述運動。
狹義相對論

  狹義相對論

伽利略曾經指出,運動的船與靜止的船上的運動不可區分,也就是說,當你在封閉的船艙里,與外界完全隔絕,那麼即使你擁有最發達的頭腦,最先進的儀器,也無從感知你的船是勻速運動,還是靜止。更無從感知速度的大小,因為沒有參考。比如,不知道整個宇宙的整體運動狀態,因為宇宙是封閉的。愛因斯坦將其引用,作為狹義相對論的第一個基本原理:狹義相對性原理。其內容是:慣性系之間完全等價,不可區分。
著名的麥克爾遜--莫雷實驗徹底否定了光的以太學說,得出了光與參考系無關的結論。也就是說,無論你站在地上,還是站在飛奔的火車上,測得的光速都是一樣的。這就是狹義相對論的第二個基本原理,光速不變原理。
由這兩條基本原理可以直接推導出相對論的坐標變換式,速度變換式等所有的狹義相對論內容。比如速度變換,正因為光的這一獨特性質,因此被選為四維時空的唯一標尺。

8實驗

為解決這一矛盾,物理學家提出了「以太假說」,即放棄相對性原理,認為麥克斯韋方程組只對一個絕對參考系(以太)成立。根據這一假說,由麥克斯韋方程組計算得到的真空光速是相對於絕對參考系(以太)的速度;在相對於「以太」運動的參考系中,光速具有不同的數值。
實驗的結果——零結果
但斐索實驗和邁克爾孫-莫雷實驗表明光速與參考系的運動無關。

9莫雷實驗

實驗裝置
M為半反半透膜, 為補償板。M = ,M =。設地球相對「以太」的相對速度為v(在地球上認為太陽、以太相對地球速度也為v)。光在MM1M和MM2M中傳播速度不同,時間不變,存在光程差,因此在P中有干涉條紋存在。當整個裝置旋轉90°以後,由於假定地球上光速各向異性,光程差會發生變化,干涉條紋也要發生變化,通過觀察干涉條紋的變化可以反推出地球相對以太的速度。
光程差
光程差為:
儀器轉動90°后:
由於光程差不同,旋轉后干涉條紋應當移動。
移動個數:
在麥—莫1887年實驗時用 (納黃光)
若認為地球相對以太速度為地球相對太陽速度則個。實驗精度為0.01個。
相對性原理
物理體系的狀態據以變化的定律
牛頓力學
1.質點運動學基本公式:(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt
2.a=dv/dt,v=v0+∫adt
(註:兩式中左式為微分形式,右式為積分形式)
當v不變時,(1)表示勻速直線運動。
當a不變時,(2)表示勻變速直線運動。
只要知道質點的運動方程r=r(t),它的一切運動規律就可知了。
2.質點動力學:
1.牛頓第一定律:不受力的物體總是保持靜止或者勻速直線運動狀態,直到有外力迫使它改變這種狀態。
2.牛頓第二定律:物體加速度與合外力成正比與質量成反比。
F=ma=mdv/dt=dp/dt
3.牛頓第三定律:作用力與反作用力等大反向作用在同一直線上。
4.萬有引力定律:兩質點間作用力與質量乘積成正比,與距離平方成反比。
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) G為引力常量 由英國化學家、物理學家卡文迪許測得。
動量定理:I=∫Fdt=p2-p1(合外力的衝量等於動量的變化)
動量守恆:合外力為零時,系統動量保持不變。
動能定理:W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等於動能的變化)
機械能守恆:只有重力或彈力做功時,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
(註:牛頓力學的核心是牛頓第二定律:F=ma,它是運動學與動力學的橋樑,我們的目的是知道物體的運動規律,即求解運動方程r=r(t),若知受力情況,根據牛頓第二定律可得a,再根據運動學基本公式求之。同樣,若知運動方程r=r(t),可根據運動學基本公式求a,再由牛頓第二定律可知物體的受力情況。)
三維語言
1.由實驗總結出的公理,無法證明。
2.洛侖茲變換:
設(x,y,z,t)所在坐標系(A系)靜止,(X,Y,Z,T)所在坐標系(B系)速度為u,且沿x軸正向。在A系原點處,x=0,B系中A原點的坐標為XA原點=-uT,即XA原點+uT=0。
可令
x=k(X+uT) (1).
又因在慣性系內的各點位置是等價的,因此k是與u有關的常數(廣義相對論中,由於時空彎曲,各點不再等價,因此k不再是常數。)同理,B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知,兩個慣性系等價,除速度反向外,兩式應取相同的形式,即k=K.
故有
X=k(x-ut) (2).
對於y,z,Y,Z皆與速度無關,可得
Y=y (3).
Z=z (4).
將(2)代入(1)可得:x=k^2(x-ut)+kuT,即
T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).
(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理,要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時,由重合點發出一光信號,則對兩系分別有x=ct,X=cT.
代入(1)(2)式得:ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得:
k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.將γ反代入(2)(5)式得坐標變換:
X=γ(x-ut)
Y=y
Z=z
T=γ(t-ux/c^2)
3.速度變換:
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))
=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)
同理可得V(y),V(z)的表達式。
4.尺縮效應:
B系中有一與x軸平行長l的細桿,則由X=γ(x-ut)得:△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同時測量兩端的坐標),則△X=γ△x,即:△l=γ△L,△L=△l/γ
5.鐘慢效應:
由坐標變換的逆變換可知,t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地測量),故△t=γ△T.
(註:與坐標系相對靜止的物體的長度、質量和時間間隔稱固有長度、靜止質量和固有時,是不隨坐標變換而變的客觀量。)
6.光的多普勒效應:(註:聲音的多普勒效應是:ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)
B系原點處一光源發出光信號,A系原點有一探測器,兩系中分別有兩個鍾,當兩系原點重合時,校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b),波數為N,B系的鐘測得的時間是△t(b),由鐘慢效應可知,A△系中的鐘測得的時間為
△t(a)=γ△t(b) (1).
探測器開始接收時刻為t1+x/c,最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c,則
△t(N)=(1+β)△t(a) (2).
相對運動不影響光信號的波數,故光源發出的波數與探測器接收的波數相同,即
ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3).
由以上三式可得:
ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).
7.動量表達式:(註:dt=γdτ,此時,γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對於動力學質點可選自身為參考系,β=v/c)
牛頓第二定律在伽利略變換下,保持形勢不變,即無論在那個慣性系內,牛頓第二定律都成立,但在洛倫茲變換下,原本簡潔的形式變得亂七八糟,因此有必要對牛頓定律進行修正,要求是在坐標變換下仍保持原有的簡潔形式。
牛頓力學中,v=dr/dt,r在坐標變換下形式不變,(舊坐標系中為(x,y,z)新坐標系中為(X,Y,Z))只要將分母替換為一個不變數(當然非固有時dτ莫屬)就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。牛頓動量為p=mv,將v替換為V,可修正動量,即p=mV=γmv。定義M=γm(相對論質量)則p=Mv.這就是相對論力學的基本量:相對論動量。(註:我們一般不用相對論速度而是用牛頓速度來參與計算)
8.相對論力學基本方程:
由相對論動量表達式可知:F=dp/dt,這是力的定義式,雖與牛頓第二定律的形式完全一樣,但內涵不一樣。(相對論中質量是變數)
9.質能方程(動能與質量的關係):
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2
=Mc^2-mc^2
即E=Mc^2=Ek+mc^2
10.能量動量關係:
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得:E^2=(E0)^2+p^2c^2

四維語言推導

在四維預言中,最基本的概念是「事件」,哪怕某個時空點上沒有發生什麼重要的事情,也稱之為「事件」。「時間」「空間」僅僅成為標記事件的「坐標」。
由平時的經驗,一個事件可以由相對於另一個事件(比如取定原點)的一個標記位置的「位矢」和一個標記時間的時間參量四個數(即慣性系下的坐標)標記,以一個事件作為標準,取定另一個事件的四個坐標,再以這個事件為標準,取定第三個事件的坐標,前後兩個坐標加起來,就是第三個事件相對於第一個事件的坐標,這正是一個線性疊加性,這說明我們經驗中的時空是一個線性空間。我們希望在新的參照系中保留這個性質,因此,洛倫茨變換應該具有「線性性」,因此可以使用線性代數的語言進行研究,將空間坐標和時間坐標看成是事件的四個矢量分量。
由光速不變原理:dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意慣性系內都成立。定義dS為四維間隔,
考察:dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).
對於任意兩時空點的dS一般不為0。設ds^2依賴於坐標系,故而是坐標變換中速度參數的函數,設在K'系中,ds'^2=ds'^2(v),v是K'系相對於K系的速度矢量,天然地:ds'^2(0)=dS^2,'則由時空反演對稱性可知,v反號,ds^2不變,故而ds^2是速度的偶函數。而由物理定律不依賴於具體的坐標系,v反號可看作由K'到K的逆變換。從K到K'再變換回K,應是「恆等變換」。故而ds'^2(v)=ds'^2(-v)=dS^2,我們由相對性原理出發,證明了我們所需的變換應該是「保間隔長度」的。
(1)式中的形式正是一個矢量求模長(也可稱「長度」)的表達式。由線性代數定理,保模長的變換必然是保內積的,保內積的變換必然是一個正交變換,變換矩陣必然是一個正交矩陣,也就是一個滿足:
AA'=A'A=I
的矩陣,其中'表示求轉置。
故一般的洛倫茨變換表達式為:
x'=Ax,AA'=A'A=I
其中,同一事件在K'系中的坐標(即x',y',z',ict')寫成列向量的形式記作x',K中相應就為x。
可以看出,三維語言中眾所周知的洛倫茨變換(見「三維語言推導」)是上式的沿z軸參照系變換特例。而且,上式不僅包括參照系變換,還可包括空間坐標系的轉動,應用範圍遠大於通常的洛倫茨變換。
任意一個粒子經歷的各個時空點在四維時空中連成一條曲線,稱作「世界線」。
由於相對論認為粒子的速度不能超過光速,使用四維語言說就是,認為「世界線的任意微小弧長必須是類時或類光間隔」。可以證明,世界線的弧長正比於粒子坐標系下的時間(差一個常數c),稱這時間為「固有時間」,記作τ。易看出這個量是參照系不變的,則可以定義該粒子世界線上每一點的:
四維矢量:(註:γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)
令r=(x,y,z,ict)則將v=dr/dt中的dt替換為dτ,V=dr/dτ稱四維速度。
則V=(γv,icγ)γv為三維分量,v為三維速度,icγ為第四維分量。(以下同理)
四維動量:P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)
四維力:f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F為三維力)
四維加速度:ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)
則f=mdV/dτ=mω
則可以證明以上各量都是參照系協變的矢量,這是與三維語言相比的一大改進。值得指出的是,相對論的「動量守恆」是針對「四維動量」而言的。
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