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玻爾茲曼分佈律

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1868年,玻爾茲曼推廣麥克斯韋的分子速度分佈律,建立了平衡態氣體分子的能量分佈律——玻爾茲曼分佈律。玻爾茲曼分佈律是量子統計物理學當中最典型的一種分佈,其奠定了量子統計物理學的基礎,玻爾茲曼認為全同粒子是可分辨的,而且處在一個量子態上的粒子數不受限制,根據這一特性,得出了微觀粒子在各個能級的分佈規律。由於其理論和所用的數學工具非常複雜,其推導是極其深奧的。

1 玻爾茲曼分佈律 -簡介

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路德維希·玻爾茲曼(Ludwig Boltzmann,1844年2月20日-1906年9月5日),奧地利物理學家,熱力學和統計力學的奠基人之一。玻爾茲曼1844年出生於奧地利的維也納,1866年獲得維也納大學博士學位。

玻爾茲曼的貢獻主要在熱力學和統計物理方面。1869年,他將麥克斯韋速度分佈律推廣到保守力場作用下的情況,得到了玻爾茲曼分佈律。

玻爾茲曼分佈律是量子統計物理學當中最典型的一種分佈,其奠定了量子統計物理學的基礎,玻爾茲曼認為全同粒子是可分辨的,而且處在一個量子態上的粒子數不受限制,根據這一特性,得出了微觀粒子在各個能級的分佈規律。由於其理論和所用的數學工具非常複雜,其推導是極其深奧的。

2 玻爾茲曼分佈律 -物理應用

玻爾茲曼分佈律玻爾茲曼分佈律

玻爾茲曼分佈形成了分子運動論的基礎,它解釋了許多基本的氣體性質,包括壓強和擴散。玻爾茲曼分佈通常指氣體中分子的速率的分佈,但它還可以指分子的速度、動量,以及動量的大小的分佈,每一個都有不同的概率分佈函數,而它們都是聯繫在一起的。

玻爾茲曼分佈可以用統計力學來推導。它對應於由大量不相互作用的粒子所組成、以碰撞為主的系統中最有可能的速率分佈,其中量子效應可以忽略。由於氣體中分子的相互作用一般都是相當小的,因此玻爾茲曼分佈提供了氣體狀態的非常好的近似。

在許多情況下(例如非彈性碰撞),這些條件不適用。例如,在電離層和空間等離子體的物理學中,特別對電子而言,重組和碰撞激發(也就是輻射過程)是重要的。如果在這個情況下應用玻爾茲曼分佈,就會得到錯誤的結果。另外一個不適用玻爾茲曼分佈的情況,就是當氣體的量子熱波長與粒子之間的距離相比不夠小時,由於有顯著的量子效應也不能使用玻爾茲曼分佈。另外,由於它是基於非相對論的假設,因此玻爾茲曼分佈不能做出分子的速度大於光速的概率為零的預言。

3 玻爾茲曼分佈律 -推導

麥克斯韋速度分佈律是討論理想氣體在平衡狀態中在沒有外力場作用下分子按速度分佈的情況。這時分子在空間分佈是均勻的,氣體分子在空間各處的密度是一樣的。如果氣體分子處於外力場(如重力場、電場或磁場)中,分子按空間位置的分佈又將遵守什麼規律呢?能有關。實際上,麥克斯韋已導出了理想氣體分子按速度的分佈,即在速度區間dvxdvydvz的分子數與該區間內分子的平動動能εk有關,而且與e-εk/kT成正比。據(9.29)式可得

玻耳茲曼把麥克斯韋速度分佈律推廣到氣體分子在任意力場中運動的情形。在這種情況下,應考慮到分子的總能量ε=εk+εp,這裡εk是分子的動能,εp是分子在力場中的勢能。同時,由於一般說來勢能隨位置而定,分子在空間的分佈是不均勻的,需要指明分子按空間位置的分佈,即要指出位置坐標分別在x到x+dx,y到y+dy,z到z+dz區間內的分子數或百分比,這裡dxdydz叫位置區間,而dvxdvydvz叫速度區間。這樣,一般講來,從微觀上統計地說明理想氣體的狀態時,以速度和位置表示一個分子的狀態就需要指出其分子在dvxdvydvzdxdydz所限定的各個狀態區間分子數或百分比。於是,玻耳茲曼得到理想氣體在平衡態下的狀態區間內分子的百分比為:

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此式表明了在溫度為T的平衡態下任何系統的微觀粒子按狀態的分佈。顯然,在某一狀態區間的分子數與該狀態區間的一個分子的能量ε有關,而且與e-ε/kT成正比。這個結論叫玻耳茲曼分佈定律(又稱玻耳茲曼分子按能量分佈律)。e-ε/kT叫玻耳茲曼因子,是決定各區間內分子數的重要因素。在能量越大的狀態區間內的分子數越小,而且隨著能量的增大按指數規律急劇地減小。也就是說,據統計分佈來看,分子總是優先佔據低能量狀態。這是玻耳茲曼分子按能量分佈律的一個要點。

上式就是玻爾茲曼分佈律的一種常用形式,它是分子按勢能的分佈律。 玻耳茲曼分佈律是一個普遍的規律,它對任何物質的微粒(氣體、液體、固體的原子和分子、布朗粒子)在任何保守力場中運動的情形都成立。

4 玻爾茲曼分佈律 -相關人物

玻爾茲曼分佈律玻爾茲曼

玻爾茲曼(Ludwig Boltzmann,1844—1906),奧地利物理學家。維也納大學哲學博士。格拉茨大學、維也納大學、慕尼黑大學、萊比錫大學教授。奧地利科學院院士。氣體動理論的奠基人之一。在熱力學和統計物理學方面有很大成就。著有《熵與幾率》、《氣體理論講義》、《力學原理講義》等。玻爾茲曼是奧地利最偉大的物理學家之一,在氣體的分子運動理論、統計力學和熱力學方面做出了卓越的貢獻。

做為哲學家,他反對實證論和現象論,並在原子論遭到嚴重攻擊的時刻堅決捍衛它。他關於統計力學的研究,為他在物理學的巨人中贏得了一席之地。愛因斯坦對於布朗運動的發現,普朗克關於20世紀早期輻射的量子理論的工作,都是玻爾茲曼觀念的直接成果。勞厄認為:「如果沒有玻耳茲曼的貢獻,現代物理學是不可想象的。」玻耳茲曼是一位深受哲學困擾的物理學家,他畢生對原子論的辯護,對熵與幾率等概念的理解,不僅奠定了統計力學的基礎,推動了20世紀物理學的發展,而且對20世紀西方哲學的發展產生了重要的影響。

在玻爾茲曼時代,熱力學理論並沒有得到廣泛的傳播。他在使科學界接受熱力學理論尤其是熱力學第二定律方面立下了汗馬功勞。通常人們認為他和麥克斯韋發現了氣體動力學理論,他被公認為統計力學的奠基者。

同每一位在物理學研究的前沿領域內作出傑出貢獻的物理學家都表明了自己的哲學立場一樣,玻耳茲曼在運用力學機制和原子論的思想研究自然現象的過程中所做出的貢獻,也隱含了他的哲學觀點。

1868年,玻爾茲曼推廣麥克斯韋的分子速度分佈律,建立了平衡態氣體分子的能量分佈律——玻爾茲曼分佈律。

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