Boltzmann equation玻爾茲曼方程
(1)基本概念:
對於載流子的導電、導熱等輸運過程的分析,簡單的方法就是採用所謂粒子平均運動的模型來處理。這能夠得到載流子的各種輸運參量,但是因為忽略了許多因素,故結果不太精確。
玻爾茲曼方程是經典粒子牛頓力學運動模型,和能態躍遷的量子力學模型相糅合的產物。如果忽略所有的相干效應,經過一定的簡化,可以從量子輸運模型中推導出玻爾茲曼方程。經典的輸運理論建立在玻爾茲曼傳輸理論的基礎上,玻爾茲曼理論的基本假設包括:
(i) 電子和空穴都是微小粒子;
(ii) 粒子之間各自獨立,沒有相干性,通過散射互相作用;
(iii) 粒子可以用Bloch理論描述;
(iv) 散射是一種瞬態行為,沒有時間和空間上的持續性;
(v) 只考慮兩個粒子之間的散射,不考慮多個粒子之間的共同作用。
(2)玻爾茲曼方程:
Boltzmann equation 又稱為玻爾茲曼輸運方程,它就是分佈函數法中所採用的一種方程,即是非平衡分佈函數f(k,r,t)所滿足的一個方程,求解此方程可得到不同條件下的f(k,r,t),然後即可求出電子的各種輸運參量。
玻爾茲曼輸運方程中考慮到了載流子的速度分佈和散射的方向性,因此較為精確。
在有電場或溫度梯度等外場的情況下,根據分佈函數因電場、磁場、溫度梯度等外場而引起的漂移變化以及因散射而引起的變化,即可建立起Boltamann方程,由於其中的散射項應是一個對散射幾率的積分, 所以Boltamann方程是一個微分-積分方程。該方程的求解很複雜, 通常採用近似方法,常用的一種近似方法就是弛豫時間近似。
玻爾茲曼方程是一個高維的方程,三維波矢空間(k),三維實空間(r),再加上一維時間(t),難於求解,常用蒙特卡羅方法來模擬。
(3)局限性:
隨著半導體器件進入納米尺度,量子效應對器件性能的影響越來越重要,載流子的輸運進入了量子輸運的領域,這同時體現在空間和時間兩個方面。一方面,位於費米能量的電子的德布羅易波長與器件的尺寸相比擬,電子的波動性更加明顯;另一方面,電子在溝道中的輸運時間動量和能量的弛豫時間相當,使得描述載流子散射的費米黃金定則的適用性受到局限。因此,對納米尺度半導體器件,玻爾茲曼方程的適用性受到局限,載流子輸運需要建立在量子力學理論框架上。  
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