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理髮師悖論又稱為羅素悖論,是由伯特蘭·羅素在1901年提出的。它的出現是由於樸素集合論對於元素的不加限制的定義。由於當時集合論以稱為數學理論的基礎,這一悖論的出現直接導致了第三次數學危機,也引發了眾多的數學家對這一問題的補救,最終形成了現在的公理化集合論。同時,羅素悖論的出現促使數學家認識到將數學基礎公理化的必要性。

1 理髮師悖論 -概念

理髮師悖論又稱為羅素悖論,是由伯特蘭·羅素在1901年提出的。它的出現是由於樸素集合論對於元素的不加限制的定義。由於當時集合論以稱為數學理論的基礎,這一悖論的出現直接導致了第三次數學危機,也引發了眾多的數學家對這一問題的補救,最終形成了現在的公理化集合論。同時,羅素悖論的出現促使數學家認識到將數學基礎公理化的必要性。

2 理髮師悖論 -內容


一個城市裡唯一的理髮師只給所有不給自己理髮的人理髮。這個城市不可能存在,因為:
如果理髮師不給自己理髮,他需要遵守規則,給自己理髮
如果理髮師給自己理髮,如遵守規則,他不準給自己理髮
換用集合語言:
可以把集合分為兩類,凡不以自身為元素的集合稱為第一類集合;凡以自身作為元素的集合稱為第二類集合。顯然每個集合或為第一類集合或為第二類集合。設為第一類集合的全體組成的集合。
如果是第一類集合,由集合的定義知:應該是的元素,這表明是第二類集合
如果是第二類集合,那麼是它自身的元素
二者皆導出矛盾,而整個討論邏輯上是沒有問題的。問題只能出現在集合的定義上。

3 理髮師悖論 -補救


由於羅素悖論的出現所引發的第三次數學危機,公理化集合論勢在必行。德國數理邏輯學家策梅洛(Zermelo,1871年-1953年)應用自己的公理系統,使得集合在公理的限制下不會太大,從而避免了羅素悖論。經過改進,這一系統形成了現在被稱為ZF系統的公理集合論體系。這個體系至今沒有發現悖論。

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