標籤:複變函數

留數又稱殘數,複變函數論中一個重要的概念。是解析函數f(z)沿一條正向簡單閉曲線的積分值。

1定義

嚴格定義是:f(z)在 0<|z-a| ≤R上解析,即a是f(z)的孤立奇點
留數定理及其應用

  留數定理及其應用

,則稱積分值(1/2πi)∫|z-a|=Rf(z)dz為f(z)關於a點的留數 ,記作Res[f(z),a] 。如果f(z)是平面流速場的復速度,而a是它的旋源點(即旋渦中心或源匯中心),則積分∫|z-a|=Rf(z)dz表示旋源的強度——環流量,所以留數是環流量除以2πi的值。由於解析函數在孤立奇點附近可以展成羅朗級數:f(z)=∑ak(z-a)k ,將它沿|z-a|=R逐項積分,立即可見Res[f(z),a]=a-1 ,這表明留數是解析函數在孤立奇點的羅朗展式中負一次冪項的係數。

2性質

關於在擴充複平面上僅有有限多個孤立奇點的解析函數有兩條與留數有關的重要性質:①該解析函數沿某一條不過孤立奇點的簡單閉曲線積分等於其在曲線內部全部孤立奇點的留數之總和乘以2πi。②該解析函數關於全部孤立奇點的留數之總和為零。這兩條性質正好與環流量的可疊加性及質量守恆定律相一致。
利用留數的性質以及它與積分的關係,我們可以通過將積分運算轉化為留數的計算.
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