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畢奧-薩伐爾定律

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在1820年,法國物理學家畢奧和薩伐爾,通過實驗測量了長直電流線附近小磁針的受力規律,發表了題為「運動中的電傳遞給金屬的磁化力」的論文,後來人們稱之為畢奧-薩伐爾定律。稍後,在數學家拉普拉斯的幫助下,以數學公式表示出這一定律。

1 畢奧-薩伐爾定律 - 定義

畢奧-薩伐爾定律演示圖1-4的內容表述為:任意電流元(Idl)在空間所產生的dB的分佈,即沿著導線轉一周dB的分佈效果演示。

畢奧-薩伐爾定律:載流導線上的電流元Idl在真空中某點P的磁感度dB的大小與電流元Idl的大小成正比,與電流元Idl和從電流元到P點的位矢r之間的夾角θ的正弦成正比,與位矢r的大小的平方成反比,即如圖示一。

畢奧-薩伐爾定律圖示一

2 畢奧-薩伐爾定律 -公式表述

畢奧-薩伐爾定律圖示二

dB的方向垂直於Idl和r所確定的平面,當右手彎曲,四指從 方向沿小於π角轉向r時,伸直的大姆指所指的方向為dB的方向,即dB、Idl、r三個矢量的方向符合右手螺旋法則,如圖示一所示, 因此,可將式圖示一寫成矢量形式如圖示二。

3 畢奧-薩伐爾定律 -疊加原理

畢奧-薩伐爾定律圖示三

與點電荷的場強公式相似,畢奧——薩伐爾定律是求電流周圍磁感強度的基本公式.磁感強度B也遵從疊加原理.因此,任 一形狀的載流導線在空間某一點P的磁感強度B,等於各電流元在該點所產生的磁感應強度dB的矢量和,即如圖示三。

4 畢奧-薩伐爾定律 -概念

畢奧-薩伐爾定律圖示四
穩定電流所產生的磁場 畢奧-薩伐爾定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷,電流量不隨時間而改變,電荷不會在任意位置累積或消失。採用國際單位制,用方程表示如圖示四。

應用這方程,必須先選出磁場的場位置。固定這場位置,積分於源電流的路徑,就可以計算出在場位置的磁場。請注意,這定律的應用,隱性地依賴著磁場的疊加原理成立;也就是說,每一個微小線段的電流所產生的磁場,其矢量的疊加和給出了總磁場。對於電場和磁場,疊加原理成立,因為它們是一組線性微分方程的解答。更明確地說,它們是麥克斯韋方程組的解答。

畢奧-薩伐爾定律圖示五

當電流可以近似為流過無窮細狹導線,上述這方程是正確的。但假若導線是寬厚的,則可用積分於導線體積或包含導線體積的方程如圖示五。

畢奧-薩伐爾定律是靜磁學的基本定律,在靜磁學的地位,類同於庫侖定律之於靜電學。畢奧-薩伐爾定律和安培定律的關係,則如庫侖定律之於高斯定律。

假若無法採用靜磁近似,例如當電流隨著時間變化太快,或當導線快速地移動時,就不能使用畢奧-薩伐爾定律,必須改用傑斐緬柯方程。

畢奧-薩伐爾定律圖示六
等速運動

等速運動的點電荷所產生的電場和磁場。

由於點電荷的運動不能形成電流,所以,必須使用推遲勢的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷q以等速度v移動,在時間t的位置為w=vt。那麼,麥克斯韋方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場如圖示六。

這方程最先由奧利弗·赫維賽德於1888年推導出來,稱為畢奧-沙伐點電荷定律。

5 畢奧-薩伐爾定律 -知識地位

畢奧-薩伐爾定律演示圖1-2內容表述為:在通電直導周圍放置一些小磁針,當電線中有電流流過時,周圍的小磁針將開始轉動,最後其南極和北極將指定為一個方向。
重點

畢奧-薩伐爾定律是普通物理學中穩恆電流磁場的基本定律,有著極其重要的地位,它確定了磁場的分佈情況,解決了磁感應強度B的定量計算,在此基礎上進一步引出了兩個重要的定理,即磁場的高斯定理和安培環路定理,從而揭示了穩恆磁場是無源場、渦旋場。讀者對畢奧-薩伐爾定律的掌握和理解程度直接影響到他們對電流與磁場的之間本質的認識,即電可以轉變成磁,反過來磁也可以轉變成電。雖然這些知識許多讀者都知道,但運用高等數學(微分、積分、矢量叉乘)的知識來推導我們熟知的公式和解釋電與磁的物理現象,卻是許多讀者無法理解和接受的。畢奧-薩伐爾定律是讀者學習整個電磁學部分的重點、難點、又是疑點。

特點

從課程論和物理學課自身特點的角度來分析畢奧-薩伐爾定律,它體現的學科特點有以下幾點:(1)是穩恆電流磁場的關鍵知識點;(2)具有高度的抽象性;(3)使用數學工具的複雜性;(4)掌握「方法」比掌握「內容」更重要;(5)在探索知識的過程中體現「把握本質聯繫,揭示事物發展內在規律性」的唯物辯證法觀點。

6 畢奧-薩伐爾定律 -應用

推導高斯磁定律成立

證明畢奧-薩伐爾定律所計算出來的磁場,永遠滿足高斯磁定律:

首先,列出畢奧-薩伐爾定律如圖示七,

畢奧-薩伐爾定律圖示七

應用一個矢量恆等式如圖示八,

畢奧-薩伐爾定律圖示八

將這恆等式帶入畢奧-沙伐方程。由於梯度只作用於無單撇號的坐標,可以將梯度移到積分外如圖示九。

畢奧-薩伐爾定律圖示九

應用一個矢量恆等式如圖示十,

畢奧-薩伐爾定律圖示十

所以,高斯磁定律成立如圖示十一。

 

畢奧-薩伐爾定律圖示十一
推導安培定律成立

證明畢奧-薩伐爾定律所計算出來的磁場,永遠滿足安培定律:首先,列出畢奧-薩伐爾定律如圖示十二。

畢奧-薩伐爾定律圖示十二

任意兩個矢量A1和A2的叉積,取其旋度,有以下矢量恆等式,如圖示十三,

畢奧-薩伐爾定律圖示十三

取旋度於畢奧-沙伐方程的兩邊,稍加運算,可以得到如圖示十四。

畢奧-薩伐爾定律圖示十四

應用著名的狄拉克δ函數關係式如圖示十五,

畢奧-薩伐爾定律圖示十五

可以得到如圖示十六。

 

畢奧-薩伐爾定律圖示十六

這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分,只與體積內所包含的被積函數,或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小,我們可以增大這體積,一直增大到外表的閉曲面沒有任何凈電流流出或流入,也就是說,電流密度等於零。這樣,就可以得到安培定律如圖示十七。

 

畢奧-薩伐爾定律圖示十七

 


  表達電流與其所建立的磁場之間關係的定律。它揭示出,由電流元Idl在真空中對觀察點P所建立的磁通密度dB與導線中電流I成正比,與dl長度成正比,與電流元至P點的距離r的平方成反比,與r和dl間夾角θ的正弦成正比,即其數值為 dB=μ×I×dl/(4πXr^2)

  若寫為矢量形式,有  dB的方向既垂直於dl又垂直於r,r為由dl指向觀察點的單位矢量。當由dl轉至r方向時, 右手螺旋前進的方向即dB的方向。沿迴路l流動的電流I所建立的磁通密度B為各電流元Idl作用的疊加,即B=∫dB=μ/4π∫Idl×r/r^3。

  這就是畢奧-薩伐爾定律的常用形式。 

  一根無限長直細導線附近相距為a的一點磁感應強度大小為 B=μI/2πa。

  上式表明某點的B與導線中電流I成正比,與該點至導線距離R成反比。B的方向與I的方向符合右手螺旋法則。這個關係式最初由法國物理學家 J.-B.畢奧和F.薩伐爾通過實驗測得,因而得名。

  半徑為R的圓電流中心O點的磁感應強度大小為 B=μI/2R 

  在需要考慮導線截面上電流分佈的情況下,可將導線劃分為許多導線元,然後進行疊加,即 

  式中J為電流密度,dV為導線中的體積元。 

  對於在無限大均勻各向同性磁介質中的細導線,可得 

  式中μ為該磁介質的磁導率。 該式是在上述條件下的畢奧-薩伐爾定律。

  

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