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1中國古代解一次不定方程的一種方法

南北朝時的數學著作《張丘建算經》(約成書於5世紀,后收入《算經十書》)
卷下最末一題為:「今有雞翁一直錢五,雞母
直錢三,雞雛三直錢一。凡百錢買雞百隻。問雞翁母雛各幾何」。史稱「百雞問
題」。這是一個一次不定方程組。關於這一問題的解法,原書僅有「雞翁每增四,雞母每減
七,雞雛每益三」的簡單術文,並列出全部正整數答案(4,18,78)、(8,11,81)和
(12,4,84),至於「增四」、「減七」、「益三」的根據則沒有敘述。傳本《張丘建
算經》附有北宋謝察微的術草,其方法純屬偶然。  
北周甄鸞在《數術記遺》的注文中列舉兩道百雞問題及各一組解,作為「計數」
(即心算)的實例,對其算理則未深究。

2雞兔同籠問題

南宋楊輝在《續古摘奇演算法》(1275)中提到兩種解法,他聲稱一種出於《辯古根
源》、一種出於另一佚名寫本(二書均已失傳);第二種解法乃先固定某一未知數,
此將百雞問題化為「雞兔同籠問題」,相當於求解二元一次方程組。  
清代學者研究百雞問題的很多,其中較突出的是駱騰鳳、丁取忠和時曰醇。駱騰
鳳在《藝游錄》(1815)中提出了一個十分巧妙的解法:先由題設方程組消去z,得
7x+4y=100,兩邊同除以7,又得4y呏2(mod7);另一方面,因有4y呏0(mod4),於是得一
「今有物不知數(4y),以七除之,餘二;以四除之,恰盡」的問題,可由「大衍求一
術」(見孫子剩餘定理)解決。丁取忠《數學拾遺》(1851)的解法與楊輝所記第二
法類似,只是他先假定雞翁無,求得雞母數25,雞雛數分析 75,;若再由z加
3,y減3,則雞數不會變,而錢數則少8;又因為雞翁的單價比雞母的單價多2,可以設
想再將 4隻雞母換成4隻雞翁,那麼總的雞數和錢數都不變,這樣就解釋了「增四」、
「減七」、「益三」的道理,並得出第一組解 (4,18,78)。時曰醇綜合駱、丁二氏的
解法,作《百雞術衍》(1861),使這一古老問題燦然大著。  

3百雞術在世界上流傳很廣泛

印度的摩訶毗羅(9世紀)、婆什迦羅第二(12世
紀)、埃及的阿布·卡米爾(9世紀)、義大利的L.斐波那契 (13世紀)以及阿拉伯
的卡西(15世紀)的著作中有類似的問題,它又是中外數學交流的一個重要線索,在
中世紀世界數學史上有著特殊的意義。
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