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  皮亞諾算術(PA)的公理:

  x(Sx≠0)。 x,y((Sa=Sy→x=y)。 ,對於在 PA 的語言中的任何公式 。 x(x+0=x)。 x,y((x+Sy=s(x+y))。 x(x*0=0)。 x,y(x*Sy=xy+x)。

1 皮亞諾算術 -內容

  皮亞諾公理,也稱皮亞諾公設,是數學家皮亞諾(皮阿羅)提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統,也稱皮亞諾算術系統。皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下:

  ①1是自然數;

  ②每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a' ,a' 也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數后

  面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);

  ③如果b、c都是自然數a的後繼數,那麼b = c;

  ④1不是任何自然數的後繼數;

  ⑤任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n' 也

  真,那麼,命題對所有自然數都真。(這條公理也叫歸納公設,保證了數學歸納法的正確性) 若將0也視作

  自然數,則公理中的1要換成0。

  更正式的定義如下:一個戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組(X, x, f):X是一集合, x為X中一元素,f是 X 到自身的映射x 不在 f的值域內.f 為一單射. 若A 為X的子集並滿足: x屬於 A, 且若 a 屬於 A, 則 f(a) 亦屬於 A則 A = X.該公理與由皮阿羅公理引出的關於自然數集合的基本假設:1.P(自然數集)不是空集2.P到P內存在a->a直接後繼元素的一一映射3.後繼元素映射像的集合是P的真子集4.若P任意子集既含有非後繼元素的元素,又有含有子集中每個元素的後繼元素,則此子集與P重合.能用來論證許多平時常見又不知其來源的定理!

  例如:其中第四個假設即為應用極其廣泛的歸納法第一原理(數學歸納法)的理論依據.

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