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1《九章算術》

盈不足術
盈不足術,中國古代解決盈虧類問題的一種算術方法。成書於公元1世紀的中國古代數學名著《九章算術》中,專辟一章名為「盈不足」。其中第一個問題是:「今有共買物,人出八,盈三;人出七,不足四。問人數、物價各幾何?」這是有關盈不足術的典型問題,可用通用的數學符號表示如下:設每人出α1,盈(或不足)b1,每人出α2,盈(或不足)b2,其中在「盈」時,b1,b2>0,「不足」時,b1,b2<0。《九章算術》給出了這個問題的一般解法,即平均每人應出錢數x,人數p和物價q,可分別用下列公式計算:
盈不足術

  盈不足術

盈不足術

  盈不足術

盈不足術

  盈不足術

在上述問題中,由公式(2)(3)可得人數p=7,物價q=53。盈不足術是中國數學史上的一項傑出成就。用盈不足演算法不僅能解決盈虧類問題,而且能解決一些更複雜的問題。

2「雙設法」

在11~13世紀一些阿拉伯數學家的著作中,也出現了盈不足術,並稱之為天秤術或契丹演算法。當時阿拉伯人所說的「契丹」,即指中國。在歐洲中世紀,為了解決px-q=0這種類型的問題,有時用到所謂「雙設法」,即通過兩次假設以求未知數的方法。這種方法的大意是:設α1和α2是x的兩個假設值,b1和b2是差值,這時有:
盈不足術

  盈不足術

盈不足術

  盈不足術

(4)-(5),得
盈不足術

  盈不足術

盈不足術

  盈不足術

α2-(5)·α1,得
盈不足術

  盈不足術

所以
盈不足術

  盈不足術

數學發展起來之前,雙設法是中世紀歐洲解決算術問題的一種主要方法,並導致了正負號(+,-)的創用。當時這種方法還有許多別的名稱,如
公式

  公式

雙假位法或迭借術,增損術或盈朒術等。13世紀著名義大利數學家L.斐波那契在《算盤書》中說:「契丹法,阿拉伯名詞。拉丁譯文當為迭借法,……亦可稱增損術。」明確指出了這種方法的淵源。因此,可以認為,正是中國古代的盈不足術經由阿拉伯傳入歐洲,在歐洲數學發展中起了重要的作用。明代之後,中國傳統數學逐漸失傳,西方數學陸續傳入中國。李之藻與利瑪竇共同編譯《同文算指》10卷(1613),載有雙設法,譯稱「迭借互征」。於是,誕生於中國的盈不足術,經過一段漫長而曲折的道路,又重新回到了中國。

3現代數學

在現代數學中,求解線性方程已無需用盈不足術。但為計算高次數字方程或函數方程ƒ(x)=0的實根近似值,有時還要用到公式
盈不足術

  盈不足術

,顯然此即公式(1)。在代數學和近似計算中,這種方法一般稱為弦截法或線性插值法。
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