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計算力學中常用的一種解偏微分方程的數值方法。其要點是:先將求解區域用一族直線分割為若干條帶,然後保留偏微分方程中沿直線方向的連續偏導數,其他方向的偏導數則用差商或內插公式代替,從而將偏微分方程的求解問題簡化為沿一族直線的常微分方程組的初邊值問題。

1 直線法 -直線法

 

2 直線法 -正文

  計算力學中常用的一種解偏微分方程的數值方法。其要點是:先將求解區域用一族直線分割為若干條帶,然後保留偏微分方程中沿直線方向的連續偏導數,其他方向的偏導數則用差商或內插公式代替,從而將偏微分方程的求解問題簡化為沿一族直線的常微分方程組的初邊值問題。由於常微分方程組的理論或數值解法都比較成熟,問題也就容易解決。
  在彈性力學的數值方法中,直線法也稱有限條帶法。現以簡單一維熱傳導方程為例,說明用直線法求解的要點。考慮如下的初邊值問題:

  (1)

式中x為坐標,t為時間,a>0,為一常數;ΨΨ1Ψ2為滿足初邊值條件的函數。
  用直線將區間【0,1】分割成n個條帶(見圖),未知解在直線x=xi上的值記為ui(t)=u(xi,t)。於是在直線x=xi上它滿足方程

。       (2)


   如用二階差商代替式(2)右端的偏導數,上述問題就變成下列近似常微分方程組的初邊值問題:

   (3)

  方程組(3) 可用常微分方程的數值解法求得一組近似解ui(t)(i=1,2,…,n-1),它代表問題(1)的解u(xt)在直線x=xi上的近似值。再用內插法,就能得到整個區間[0,1]上的近似解。除用差商代替空間導數外,也可用插值公式來逼近。1963年,Г.Φ.捷列寧就是利用這種方法計算鈍頭體繞流的。他不採用差商代替微商,而改用高次內插多項式逼近微商,並把混合型方程的邊值問題化為常微分方程組的兩點邊值問題。這種方法後來被稱為捷列寧方法,由於在定解區域內解的解析性質較好,此法只用三、四個條帶,就能達到高階精度。直線法的另一個主要發展是1951年A.A.多羅德尼岑提出的積分關係法,它被用於求解空氣動力學問題。該法是從守恆型偏微分方程出發,先按某一變數求積,獲得一組積分關係式,再用適當的內插公式代替積分關係式中的被積函數,最後導出近似常微分方程組。由於積分后的函數比被積函數更光滑,當被積函數有第一類間斷點時,積分仍能給出連續的表達式。因此,當流場中出現間斷面時,積分關係法仍能保持物理量的守恆關係,而普通直線法則不能做到這一點。此法曾被用來求解鈍頭旋轉體高速飛行時的繞流問題並獲得了成功。為使積分關係法也能適用於邊界層的計算,1960年多羅德尼岑還提出廣義積分關係法。該法用逐段連續的「權函數」去乘原始方程組中的每一個方程並進行積分。對梯度變化較大的被積函數,可選擇適當的權函數加以「平滑」。這樣,就能以低級近似來獲得高精度的數值解。

  直線法和積分關係法都具有結構簡單、機器存儲量小和運算時間省的優點。缺點是,當近似常微分方程組階數很高或出現奇點時,常會出現計算不穩定問題。
  直線法和積分關係法既可用於求解線性的,也可求解非線性的拋物型、雙曲型、橢圓型和混合型偏微分方程,甚至還可用於求解微分-積分方程。因此,它們在彈性力學、流體力學、物理-化學流體動力學和數學物理的其他問題中都有廣泛的應用。

 

3 直線法 -配圖

 

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