標籤:子集

如果A是B的子集,並且B中至少有一個元素不屬於A,那麼集合A叫做集合B的真子集。

1定義

子集定義:一般地,對於兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,我們就說這兩個集合有包含關係,稱集合A為集合B的子集(subset)。
記作: A⊆B(或B⊇A)
讀作:「A包含於B」(「B包含A」)
而真子集是對於子集來說的
★真子集定義:如果集合A⊆B,但存在元素X∈B,且元素X不屬於集合A,我們稱集合A是集合B的真子集。
也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合 B 的元素,則稱 A 是 B 的子集,
若 B 中有一個元素,而A 中沒有,且A 是 B 的子集,則稱 A 是 B 的真子集。
真子集

  真子集

註: 1 空集是空集的子集
2 所有集合都是其本身的子集
3 空集是任何非空集合的真子集

2舉例

所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集。
所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。
{1, 3} ⊆{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3, 4}

3區別

子集就是一個集合中的全部/部分元素是另一個集合中的元素,有可能與另一個集合相等
真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素,但不存在相等
子集和真子集計算
若集合A有n個元素,則集合A的子集個數為2^n(即2的n次方),且有(2^n)-1個真子集,(2^n)-2個非空真子集
證:設元素編號為1, 2, ... n,每個子集對應一個長度為n的二進位數。
規定數的第 i 位為1表示元素i在集合中,0表示元素 i 不在集合中。
即00...0(n個0) ~ 11...1(n個1) [二進位]
一共有2^n個數,因此對應2^n個子集
去掉11...1(即全1,表示原來的集合A)則有2^n-1個真子集,再去掉00...0(即全0,表示空集)則有2^n-2個非空真子集
比如說集合{a, b, c}元素編號為a--1, b--2, c--3
111 <--> {a, b, c} --> 即集合A
110 <--> {a, b, } --> 元素1(a), 元素2(b)在子集中
101 <--> {a, , c} --> 元素1(a), 元素3(c)在子集中
... ...
001 <--> { , , c}
000 <--> { , , } --> 即空集
命題1:空集是任意集合的子集。
證明:給定任意集合 A,要證明∅是A 的子集。這要求給出所有∅的元素是A 的元素;但是,∅沒有元素。
對有經驗的數學家們來說,推論 「∅沒有元素,所以∅的所有元素是A 的元素」是顯然的;但對初學者來說,有些麻煩。 因為∅沒有任何元素,如何使「這些元素」成為別的集合的元素?換一種思維將有所幫助。
為了證明∅不是A 的子集,必須找到一個元素,屬於∅,但不屬於A。因為∅沒有元素,所以這是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
這個命題說明:包含是一種偏序關係。
命題2:若ABC是集合,則:
自反性:AA反對稱性:ABBA當且僅當A=B傳遞性: 若 ABBCAC
這個命題說明:對任意集合SS的冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數。
命題3:若ABC是集合S的子集,則:
存在一個最小元和一個最大元: ∅ ⊆ AS(that ∅ ⊆ Ais Proposition 1 above.)存在並運算: AABACBCABC存在交運算:ABACACBCAB
這個命題說明:表述 "AB" 和其他使用並集,交集和補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。
命題4: 對任意兩個集合 AB,下列表述等價:
ABAB=AAB=BAB=B′ ⊆ A
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