標籤: 暫無標籤

矩陣:英文名Matrix。在數學名詞中,矩陣用來表示統計數據等方面的各種有關聯的數據。這個定義很好地解釋了Matrix代碼製造世界的數學邏輯基礎。矩陣是數學中最重要的基本概念之一,是代數學的一個主要研究對象,也是數學研究及應用的一個重要工具。

1 矩陣 -簡介

數學中最重要的基本概念之一,是代數學的一個主要研究對象,也是數學研究及應用的一個重要工具。由mn個數排成的m行n列的矩形表

矩陣

稱為m×n矩陣,記作A矩陣,也可記作(αij)或矩陣。數矩陣稱為矩陣的第i行第j列的元素。當矩陣的元素都是某一數域F中的數時,就稱它為數域F上的矩陣,簡稱F上的矩陣。當m=n時,矩陣A稱為n階矩陣或n階方陣,此時α11,α22,…,αnn稱為n階矩陣的對角線元素,當所有的非對角線元素αij(ij)均為零時,A就稱為n階對角矩陣,簡稱對角矩陣。當對角線下面(或上面)的所有元素均為0時,A就稱為上(或下)三角矩陣。 在m×n矩陣A中取k個行和k個列,k≤m,n;由這些行與列相交處的元素按原來的位置構成的k階行列式,稱為矩陣Ak階子式。一個n階矩陣A只有一個n階子式,它稱為矩陣A的行列式,記作│A│或detA

2 矩陣 -來源

英文名Matrix(SAMND矩陣)。在數學名詞中,矩陣用來表示統計數據等方面的各種有關聯的數據。這個定義很好地解釋了Matrix代碼製造世界的數學邏輯基礎。   

數學上,矩陣用在解線性方程組上既方便,又直觀。例如對於方程組。   

a1x+b1y+c1z=d1   

a2x+B2Y+c2z=d2   

a3x+b3y+c3z=d3   

來說,我們可以構成一個矩陣:   

/ \   

|a1 b1 c1 |   

| |   

|a2 b2 c2 |   

| |   

|a3 b3 c3 |   

\ /   因為這些數字是有規則地排列在一起,形狀像矩形,所以數學家們稱之為矩陣,通過矩陣的變化,就可以得出方程組的解來。   

矩陣這一具體概念是由19世紀英國數學家凱利首先提出並形成矩陣代數這一系統理論的。   

數學上,一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列。矩陣由數組成,或更一般的,由某環中元素組成。   

矩陣常見於線性代數、線性規劃、統計分析,以及組合數學等。請參考矩陣理論。

3 矩陣 -運算

兩個矩陣只有在其行數與列數均分別相同,而且所有相應位置的元素均相等時,才能稱為相等。只有在兩個矩陣的行數與列數均分別相同時,才能進行加法。矩陣矩陣矩陣相加而得和矩陣,其中矩陣矩陣。 數乘矩陣是指數域F中任何數α均可去乘F上任意矩陣矩陣而得積矩陣,即αA仍為m×n矩陣,其第i行第j列的元素為ααiji=1,2,…,m ;j=1,2,…,n。只有一個矩陣的列數等於另一個矩陣的行數時,這兩個矩陣才能進行乘法:一個m×n矩陣A=(αij)去乘一個n×p矩陣B=(bij)而得積AB是一個m ×p矩陣D=(dij),其中矩陣矩陣,即AB的行數與A的行數相同,而其列數與B的列數相同。此種乘法規則也適用於分塊矩陣(即將元素劃分成若干小矩陣塊的矩陣)。分塊時A的列的分法應與B的行的分法一致。

矩陣運算有以下性質:

A+B=B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
α(A+B)=αA+αB
(α+β)A=αA+βA
α(βA)=(αβ)A
α(AB)=(αA)B=A(αB);
A(BC)=(AB)C
(A+B)C=AC+BC
A(B+C)=AB+AC

這裡ABC表示矩陣,α表示數域F中的數。

當一個m×n矩陣的全部元素均為0時,就稱為零矩陣,記作Om×n。對於任意一個m×n矩陣A,恆有A+Om×n=A;且恆有惟一的一個m×n矩陣B=(-1)A,使A+B=Om×n,此B稱為A的負矩陣,簡記為-A。易知-A的負矩陣就是A,即-(-A)=A

數域F上的所有 m×n矩陣按上述矩陣加法和數乘矩陣運算,構成F上的一個mn維向量空間;F上的所有n階矩陣按矩陣的加法和乘法構成一個環,稱為F上的n階全陣環。F上的n階全陣環視為F上的n2維向量空間,就構成F上的n階全陣代數。

4 矩陣 -定義和相關符號

以下是一個4×3矩陣:
  某矩陣A的第i行第j列,或i,j位,通常記為A[i,j] 或Ai,j。在上述例子中A[2,3]=7。
  在C語言中,亦以A[j]表達。(值得注意的是,與一般矩陣的演算法不同,在C中,"行"和"列"都是從0開始算起的)
  此外A=(aij),意為A[i,j]=aij對於所有i及j,常見於數學著作中。

一般環上構作的矩陣

給出一環R,M(m,n,R)是所有由R中元素排成的m×n矩陣的集合。若m=n,則通常記以M(n,R)。這些矩陣可加可乘(請看下面),故M(n,R)本身是一個環,而此環與左R模Rn的自同態環同構。

若R可置換,則M(n,R)為一帶單位元的R-代數。其上可以萊布尼茨公式定義行列式:一個矩陣可逆當且僅當其行列式在R內可逆。

在維基百科內,除特別指出,一個矩陣多是實數矩陣或虛數矩陣。

分塊矩陣

分塊矩陣是指一個大矩陣分割成「矩陣的矩陣」。舉例,以下的矩陣
可分割成4個2×2的矩陣。
此法可用於簡化運算,簡化數學證明,以及一些電腦應用如VLSI晶元設計等。

5 矩陣 -特殊矩陣類別

對稱矩陣是相對其主對角線(由左上至右下)對稱,即是ai,j=aj,i。

埃爾米特矩陣(或自共軛矩陣)是相對其主對角線以復共軛方式對稱,即是ai,j=a*j,i

特普利茨矩陣在任意對角線上所有元素相對,是ai,j=ai+1,j+1。

隨機矩陣所有列都是概率向量,用於馬爾可夫鏈。

6 矩陣 -矩陣運算

給出m×n矩陣A和B,可定義它們的和A+B為一m×n矩陣,等i,j項為(A+B)[i,j]=A[i,j]+B[i,j]。舉例:
另類加法可見於矩陣加法.
若給出一矩陣A及一數字c,可定義標量積cA,其中(cA)[i,j]=cA[i,j]。例如
這兩種運算令M(m,n,R)成為一實數線性空間,維數是mn.
若一矩陣的列數與另一矩陣的行數相等,則可定義這兩個矩陣的乘積。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣,它們是乘積AB是一個m×p矩陣,其中
(AB)[i,j]=A[i,1]*B[1,j]+A[i,2]*B[2,j]+...+A[i,n]*B[n,j]對所有i及j。
例如
此乘法有如下性質:
(AB)C=A(BC)對所有k×m矩陣A,m×n矩陣B及n×p矩陣C("結合律").
(A+B)C=AC+BC對所有m×n矩陣A及B和n×k矩陣C("分配律")。
C(A+B)=CA+CB對所有m×n矩陣A及B和k×m矩陣C("分配律")。
要注意的是:可置換性不一定成立,即有矩陣A及B使得AB≠BA。
對其他特殊乘法,見矩陣乘法。

7 矩陣 -其他性質

線性變換,秩,轉置

矩陣是線性變換的便利表達法,皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的連繫:

以Rn表示n×1矩陣(即長度為n的矢量)。對每個線性變換f:Rn->Rm都存在唯一m×n矩陣A使得f(x)=Ax對所有x∈Rn。這矩陣A"代表了"線性變換f。今另有k×m矩陣B代表線性變換g:Rm->Rk,則矩陣積BA代表了線性變換gof。

矩陣A代表的線性代數的映像的維數稱為A的矩陣秩。矩陣秩亦是A的行(或列)生成空間的維數。
m×n矩陣A的轉置是由行列交換角式生成的n×m矩陣Atr(亦紀作AT或tA),即Atr[i,j]=A[j,i]對所有iandj。若A代表某一線性變換則Atr表示其對偶運算元。轉置有以下特性:
(A+B)tr=Atr+Btr,(AB)tr=BtrAtr。

8 矩陣 -單位矩陣與逆矩陣

 對角線元素都是 1的 n階對角矩陣,稱為n階單位矩陣,簡記為In。對於任意矩陣Am×nBn×p, 恆有矩陣,對於任意n階矩陣A,恆有AIn=InA=A。若對於一個n階矩陣A,有一個n階矩陣B存在,使AB=BA=In,則B稱為A的逆矩陣,記作A-1。易知BA-1是由A惟一確定的。當A有逆矩陣A-1時,A-1也有逆矩陣且就是A,即(A-1)-1=A。有逆矩陣的n階矩陣,稱為非奇異矩陣;沒有逆矩陣的n階矩陣,稱為奇異矩陣。當AB都是n階非奇異矩陣時,則AB也是非奇異矩陣,且(AB)-1=B-1A-1。這個等式用數學歸納法可推廣到任意有限多個n階非奇異矩陣的情形。

9 矩陣 -轉置矩陣

一個 m×n矩陣A的行與列的元素互換而得到的n×m矩陣,稱為A的轉置矩陣,記為A′或AT。若A是一個n階方陣,且A′=A,則A稱為對稱矩陣。關於矩陣的轉置,有如下基本運算規律:(A┡)┡=A;(A+B)┡=A′+B┡;(αA)┡=α(A┡);(AB)┡=BA┡。

n階矩陣A=(αij)的元素αij在│A│中的代數餘子式Aij(i,j=1,2,…,n)仍是數域F中的數,於是可作成如下的一個n階矩陣

矩陣

並記為Ã0。矩陣Ã0,稱為A的伴隨矩陣。由行列式的性質可知,A為非奇異矩陣,必要而且只要 │A│≠0,此時有矩陣

10 矩陣 -秩數與跡數  

一個m×n矩陣A的每行可看成一個n元向量(即n元數列),稱為A的行向量。m×n矩陣A就有m個行向量,這m個行向量中的線性無關極大組所含向量的個數,即行向量的秩數,稱為A的行秩數。可類似定義A的列秩數。任意矩陣A的行秩數恆等於其列秩數,因此可簡稱為A的秩數。A的秩數等於A的非零子式的最大階數。一個n階矩陣A的對角線元素的和,稱為A的跡數。對任意n階矩陣AB,(A+B)的跡數=A的跡數+B的跡數;(kA)的跡數=kA的跡數),這裡k為某個數。

11 矩陣 -環上的矩陣

 若用一個環R去代替數域F,則可定義R上的矩陣及其運算,而且上述有關數域F上的內容,絕大部分都可以推廣到R上,尤其當R是一個有單位元素1的交換環,甚至是一個域時,則上述的全部內容可以推廣到R上。R是一個域或複數域F上的多項式環Fλ】的情形最為有用。

A=(αij)是複數域F上的一個n階矩陣,In階單位矩陣,則AI以及λI-A都可視為多項式環Fλ】上的n階矩陣

矩陣

稱為A的特徵矩陣。其行列式|λI-A|是Fλ】中的一個首項係數為1的n次多項式矩陣(-1)nb0,其中bn-1恰為A的跡數,b0恰為|A|,ƒ(λ)=|λI-A|稱為A的特徵多項式,其根稱為A的特徵值或特徵根。λ0A的一個特徵值,必要而且只要有F上非零的n元列向量ξn行1列的矩陣,使λ0ξ=Aξ。此ξ稱為A的屬於λ0的一個特徵向量。A的屬於不同特徵值的特徵向量,恆在F上線性無關。

對於Fλ】中任意一個m次多項式矩陣矩陣,可以用F上任意一個n階矩陣A去代替λ而引出一個n階矩陣矩陣,其中In階單位矩陣。所謂凱萊-哈密頓定理,即如果ƒ(λ)是Fn階矩陣A的特徵多項式時,那麼恆有ƒ(A)=On,其中Onn階零矩陣。由此可知,對於F上任意n階矩陣A,必存在唯一的首項係數為1的多項式φ(λ)使φ(A)=On。對於任意的多項式g(λ),g(A)=On必要而且只要φ(λ)|g(λ)(即φ(λ)能整除g(λ))。此φ(λ)就稱為A的最小多項式。

12 矩陣 -矩陣的等價

對矩陣A的行與列或僅對行或僅對列施以若干次初等變換而得到矩陣B,稱為A等價於B,記為AB。矩陣之間的這個關係具有反身性、對稱性和傳遞性,所以它是一種等價關係。矩陣的等價是在討論一個向量空間到另一個向量空間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。所謂矩陣的初等變換,是指以下的任何一種變換:①用F中任意的一個不為零的元素α去乘矩陣的第i行(列);②把矩陣的第i行(列)的b倍加於第j行(列),其中bF中任意元素;③互換矩陣的第i與第j行(列),並分別稱為第一、第二、第三種初等變換。

F上的單位矩陣I進行一次初等變換后所得出的矩陣,稱為初等矩陣。一種初等變換對應於一種初等矩陣。對矩陣A的行施以某種初等變換的結果,恰等於用相應的初等矩陣去左乘A;對A的列施以某種初等變換的結果,恰等於用相應的初等矩陣去右乘A。初等矩陣恆為可逆的,且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣,因此初等矩陣的積恆為非奇異矩陣。由此可知,等價矩陣的秩數相同,或者說初等變換不改變矩陣的秩數。於是,經若干次初等變換后,必可將每個秩數為r的矩陣的左上角化為r階單位矩陣,而其他位置都化為0。n階非奇異矩陣恆等價於n階單位矩陣,恆可表為若干個初等矩陣之積。因此,AB必要而且只要有非奇異矩陣PQ使PAQ=B

多項式環Fλ】上的矩陣矩陣,簡稱為λ矩陣。在Fλ】上也可定義行列式。A(λ)的秩數定義為A(λ)的最大非零子式的階數。對λ矩陣也可進行初等變換,在第一種初等變換中只能使用F中非零的α,而不能用Fλ】中非零的ƒ(λ);第二種初等變換中則可用Fλ】中任意的g(λ)去代替b。也可以定義可逆性,對於λ矩陣P(λ)若有λ矩陣K(λ)使P(λ)K(λ)=K(λ)P(λ)=I,則稱λ矩陣P(λ)是可逆的,λ矩陣K(λ)則稱為P(λ)的逆矩陣。也可以定義λ矩陣的等價。秩數為rλ矩陣A(λ)必等價於所謂A(λ)的法式即λ矩陣:

矩陣

這裡的諸φi(λ)均由A(λ)惟一確定,且φ1(λ)|φ2(λ)|…|φr(λ),首項係數均為1。

由此可知,一個nλ矩陣P(λ)是可逆的,必要而且只要P(λ)為若干個與λ矩陣的初等變換相應的初等矩陣的積;必要而且只要其行列式為F中的非零元素。兩個λ矩陣A(λ)m×n,B(λ)m×n是等價的,必要而且只要有可逆λ矩陣P(λ)、Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。A(λ)的法式中的諸多項式φi(λ),都稱為A(λ)的不變因子,且可作如下分解:

矩陣

式中諸ej(λ)是Fλ】中首項係數為1的互不相同的既約多項式;nij為非負整數,且最後一行中的n1r,n2r,…,nkr均非零,並有矩陣。這些因子矩陣,除去指數nij=0者,都稱為A(λ)的初等因子。矩陣必要而且只要它們的法式相同;必要而且只要它們的全部不變因子一致;必要而且只要它們的秩數與全部初等因子一致。

13 矩陣 -矩陣的相似

 對於域F上兩個n階矩陣AB,若有非奇異矩陣P,使P-1AP=B,則稱為A相似於B,記為AB。矩陣之間的這個關係,具有反身性、對稱性和傳遞性,所以它是一種等價關係。矩陣的相似是在討論一個向量空間到自身之間的線性變換的各種矩陣表示問題中產生的。域F上兩個n階矩陣AB相似,必要而且只要特徵矩陣(λI-A)與(λI-B)在Fλ】上等價。λI-A的不變因子與初等因子,分別稱為A的不變因子與初等因子。特徵矩陣λI-A的秩數,即A的階數n。因此,在F上的兩個n階矩陣AB相似,必要而且只要它們的初等因子一致。當F是一個代數封閉域時,Fλ】中的首項係數為1的既約多項式只能是形如(λ-α)的一次式,所以此時F上的一個n階矩陣A的全部初等因子必為如下的一些多項式:

矩陣

式中α1,α2,…,αk互不相同,k≥1;所有指數Л12,…,Лr,…;n1,n2,…,nt之和為n。對於每個形如矩陣的多項式,可以惟一確定一個所謂若爾當小塊,即h階矩陣:

矩陣

它只有一個初等因子,而且就是矩陣。設上述n階矩陣A的全部初等因子的若爾當小塊分別是J1,J2,…,Jυ,v=r+s+…+t,用這v個小塊來合成一個n階對角分塊矩陣

矩陣

於是AJ,而且除諸小塊的次序外,J是由A所惟一確定的。J稱為A的若爾當標準形式。由此可知,只要找出A的全部初等因子即可求得A的若爾當標準形式。要找出A的全部初等因子有一個較簡捷的方法,即不必把λI-A化成法式,而先把λI-A通過初等變換化成對角矩陣,其對角線上的全部多項式不一定恰是A的全部不變因子,只要將其中每個非常數多項式的首項係數化為 1,再分解因子,即可象從不變因子求出初等因子那樣得出A的全部初等因子。

N是任意域F上的一個方陣,若有正整數m使Nm=0,則N稱為一個冪零矩陣。例如,把上述若爾當小塊中的α全換成0得出的h階矩陣N,就是一個冪零矩陣,因為Nh=0。

F上的方陣K具有性質K2=K,則稱K為一個冪等矩陣。例如單位矩陣就是一個冪等矩陣。由直接計算可知,對F上任意多項式ƒ(λ),有矩陣。因此,與冪零矩陣相似的矩陣仍為冪零矩陣;與冪等矩陣相似的矩陣仍為冪等矩陣。

實數域上一個非奇異矩陣T若具有性質T┡=T-1(T┡是T的轉置矩陣),則稱為一個正交矩陣。例如解析幾何里直角坐標旋轉公式的係數矩陣就是正交矩陣。一個正交矩陣的轉置矩陣(即其逆矩陣)仍為正交矩陣;兩個同階的正交矩陣的積仍為正交矩陣。實數域上任意一個對稱矩陣A,恆可通過適當的正交矩陣T而相似於對角矩陣D,即D=T-1AT=TAT,且D的對角線上的實數就是A的全部特徵根。

複數域上的一個非奇異矩陣U若具有性質ū┡=U-1U┡=(ū)-1(ū┡為U的共軛轉置矩陣),就稱為一個酉矩陣。一個酉矩陣的共軛矩陣仍為酉矩陣;一個酉矩陣的轉置矩陣仍為酉矩陣;一個酉矩陣的共軛轉置矩陣(即其逆矩陣)仍為酉矩陣;兩個同階的酉矩陣的積仍為酉矩陣。複數域上凡滿足矩陣的矩陣A,稱為埃爾米特矩陣。實對稱矩陣作為複數域上的矩陣時,就是埃爾米特矩陣。任意一個埃爾米特矩陣A,恆可通過適當的酉矩陣U而相似於實對角矩陣D,即D=U,且D的對角線元素恰為A的全部特徵根。一個正交矩陣作為複數域上的矩陣時,也是一個酉矩陣。

 

14 矩陣 -矩陣的合同

當矩陣A經過若干套初等變換而化為矩陣B時,則稱為A合同於B,記為矩陣。矩陣之間的這個關係具有反身性、對稱性和傳遞性,所以它是一種等價關係。矩陣的合同是在討論用(對稱)矩陣表示二次型的問題中產生的。

所謂一套初等變換,是指將某一種初等變換首先對一個矩陣的第i列(行)施行而得一矩陣,然後再對此所得矩陣的第i行(列)施行又得一矩陣。第一、二、三套初等交換,分別由第一、二、三種初等變換組成。

兩個n階矩陣AB合同,必要而且只要有非奇異矩陣P使PAPB。與對稱矩陣合同之矩陣仍為對稱矩陣。每個秩數為r的實對稱矩陣A恆合同於一個對角矩陣,其對角線上有p個1與q個-1;其他的對角線元素均為0,這裡p≥0,q≥0,p+q=r,而且pq都是由A所惟一確定的。實對稱矩陣的特徵根恆為實數。實對稱矩陣A能合同於而又相似於一個對角矩陣,其對角線元素恰為A的全部特徵根。與單位矩陣合同的實對稱矩陣,稱為正定矩陣。對於n階實對稱矩陣A,以下命題是等價的:A為正定矩陣;有非奇異矩陣Q使矩陣A的所有主子式均為正實數;A的所有i階主子式之和Si均為正實數(i=1,2,…,n);A的所有左上角的主子式均為正實數;A的所有特徵根均為正實數;A所相應的二次型為正定型。

對一個複數方陣施以第一套初等變換,就是用不為零的αi行,再用ā乘第i列;施以第二套初等變換,就是把第i行的b倍加於第j行,再用第i列的姼倍加於第j列;施以第三套初等變換仍然是互換第i和第j兩行,再互換第i和第j兩列。若對複數方陣A施以上述的若干套初等變換而得方陣B,則稱為Ah合同於B。矩陣的h合同關係具有反身性、對稱性和傳遞性,所以它是一種等價關係。兩個n階複數矩陣ABh合同的,必要而且只要有非奇異矩陣P使PA圴 =B。與埃爾米特矩陣是h合同的矩陣仍為埃爾米特矩陣。每個埃爾米特矩陣Ah合同於一個對角矩陣,其對角線上有p個1與q個-1,其他元素均為0,這裡p≥0,q≥0,p+qA的秩數,而且pq均是由A所惟一確定的。埃爾米特矩陣的特徵根恆為實數。埃爾米特矩陣A不僅恆能h合同於一個對角矩陣,而且必能相似於一個對角矩陣,此時其對角線元素恰為A的全部特徵根。與單位矩陣是h合同的埃爾米特矩陣,稱為正定埃爾米特矩陣。對於一個n階埃爾米特矩陣A,以下命題是等價的:A為正定埃爾米特矩陣;有非奇異矩陣Q使矩陣;A的所有主子式為正實數;A的所有i階主子式之和Si,均為正實數(i=1,2,…,n);A的所有左上角的主子式均為正實數;A的所有特徵根均為正實數;A所相應的埃爾米特二次型是正定埃爾米特二次型。複數域上的一個方陣A若滿足A凴′=凴′A(即A與凴′可交換)就稱A為正規矩陣。實對稱矩陣、埃爾米特矩陣、正交矩陣與酉矩陣都是正規矩陣。每個複數方陣A均可表為A=h1+ih2,其中h1h2均為由A所惟一確定的埃爾米特矩陣,此時A為正規矩陣必要而且只要h1h2可交換。正規矩陣A與凴′有相同的特徵向量。一個複數方陣A為正規矩陣,必要而且只要有酉矩陣U使U-1AU為對角矩陣。

矩陣的理論起源,可追溯到18世紀,見於著作則是在19世紀。A.凱萊在1858年引進矩陣為一個正方形的排列表,且能進行加法與乘法運算,於是人們就把A.凱萊作為矩陣論的創始人。然而在此之前,C.F.高斯在1801年與F.G.M.艾森斯坦在1844~1852年就早已先後把一個線性替換(即線性變換)的全部係數作為一個整體,並用一個字母來表示。艾森斯坦還強調乘法的次序的重要性,指出STTS未必相同。與艾森斯坦同時的C.埃爾米特以及稍後的E.N.拉蓋爾和F.G.弗羅貝尼烏斯也都先後發展了線性替換的符號代數。弗羅貝尼烏斯較豐富的工作於1877年發表在最早的數學雜誌之一的《克雷爾雜誌》上。矩陣的相似標準形,矩陣的合同標準形,矩陣的求逆,矩陣的特徵值與廣義特徵值等是矩陣論的經典內容;矩陣方程論,矩陣分解論,廣義逆矩陣等是矩陣論的現代內容。矩陣及其理論在現代科學技術的各個領域都有廣泛的應用。

15 矩陣 -矩陣圖法的涵義

矩陣圖法就是從多維問題的事件中,找出成對的因素,排列成矩陣圖,然後根據矩陣圖來分析問題,確定關鍵點的方法,它是一種通過多因素綜合思考,探索問題的好方法。在複雜的質量問題中,往往存在許多成對的質量因素.將這些成對因素找出來,分別排列成行和列,其交點就是其相互關聯的程度,在此基礎上再找出存在的問題及問題的形態,從而找到解決問題的思路。矩陣圖的形式如圖所示,A為某一個因素群,a1、a2、a3、a4、…是屬於A這個因素群的具體因素,將它們排列成行;B為另一個因素群,b1、b2、b3、b4、…為屬於B這個因素群的具體因素,將它們排列成列;行和列的交點表示A和B各因素之間的關係。按照交點上行和列因素是否相關聯及其關聯程度的大小,可以探索問題的所在和問題的形態,也可以從中得到解決問題的啟示等。質量管理中所使用的矩陣圖,其成對因素往往是要著重分析的質量問題的兩個側面,如生產過程中出現了不合格品時,著重需要分析不合格的現象和不合格的原因之間的關係,為此,需要把所有缺陷形式和造成這些缺陷的原因都羅列出來,逐一分析具體現象與具體原因之間的關係,這些具體現象和具體原因分別構成矩陣圖中的行元素和列元素。矩陣圖的最大優點在於,尋找對應元素的交點很方便,而且不遺漏,顯示對應元素的關係也很清楚。矩陣圖法還具有以下幾個點:①可用於分析成對的影響因素;②因素之間的關係清晰明了,便於確定重點;③便於與系統圖結合使用。

二、矩陣圖法的用途矩陣圖法的用途十分廣泛.在質量管理中.常用矩陣圖法解決以下問題:①把系列產品的硬體功能和軟體功能相對應,並要從中找出研製新產品或改進老產品的切入點;②明確應保證的產品質量特性及其與管理機構或保證部門的關係,使質量保證體制更可靠;③明確產品的質量特性與試驗測定項目、試驗測定儀器之間的關係,力求強化質量評價體制或使之提高效率;④當生產工序中存在多種不良現象,且它們具有若干個共同的原因時,希望搞清這些不良現象及其產生原因的相互關係,進而把這些不良現象一舉消除;⑤在進行多變數分析、研究從何處入手以及以什麼方式收集數據。

三、矩陣圖的類型矩陣圖法在應用上的一個重要特徵,就是把應該分析的對象表示在適當的矩陣圖上。因此,可以把若干種矩陣圖進行分類,表示出他們的形狀,按對象選擇並靈活運用適當的矩陣圖形。常見的矩陣圖有以下幾種:(1)L型矩陣圖。是把一對現象用以矩陣的行和列排列的二元表的形式來表達的一種矩陣圖,它適用於若干目的與手段的對應關係,或若干結果和原因之間的關係。(2)T型矩陣圖。是A、B兩因素的L型矩陣和A、c兩因素的L型矩陣圖的組合矩陣圖,這種矩陣圖可以用於分析質量問題中「不良現象一原因一工序」之間的關係,也可以用於分析探索材料新用途的「材料成分一特性一用途」之間酌關係等。(3)Y型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與A因素三個L型矩陣圖組合在一起而形成的矩陣圖。(4)X型矩陣圖。是把A因素與B因素、B因素與C因素、C因素與D因素、D因素與A因素四個L型矩陣圖組合而形成的矩陣圖,這種矩陣圖表示A和B、D,D和A、C,C和B、D,D和A、C這四對因素間的相互關係,如「管理機能一管理項目一輸入信息一輸出信息」就屬於這種類型。(5)C型矩陣圖。是以A、B、C三因素為邊做出的六面體,其特徵是以A、B、c三因素所確定的三維空間上的點為「著眼點」。

四、製作矩陣圖的步驟製作矩陣圖一般要遵循以下幾個步驟:①列出質量因素:②把成對對因素排列成行和列,表示其對應關係;③選擇合適的矩陣圖類型;④在成對因素交點處表示其關係程度,一般憑經驗進行定性判斷,可分為三種:關係密切、關係較密切、關係一般(或可能有關係),並用不同符號表示;⑤根據關係程度確定必須控制的重點因素;⑥針對重點因素作對策表。

16 矩陣 -歷史

矩陣的研究歷史悠久,拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。

作為解決線性方程的工具,矩陣也有不短的歷史。1693年,微積分的發現者之一戈特弗里德•威廉•萊布尼茨建立了行列式論(theoryofdeterminants)。1750年,加布里爾•克拉默其後又定下了克拉默法則。1800年代,高斯和威廉•若爾當建立了高斯—若爾當消去法。

1848年詹姆斯•約瑟夫•西爾維斯特首先創出matrix一詞。研究過矩陣論的著名數學家有凱萊、威廉•盧雲•哈密頓、格拉斯曼、弗羅貝尼烏斯和馮•諾伊曼。

17 矩陣 -矩陣卡

矩陣卡是由深圳網域提出的一種保護個人帳號的系統,它是由一張表格組成,橫排是A\BC\D等英文字母,在豎排是1.2.3等阿拉伯數字,在登錄時必須通過矩陣卡的驗證才可以進入遊戲。

類似於矩陣卡

矩陣矩陣卡

18 矩陣 -特徵向量

特徵向量-定義   
數學上,線性變換的特徵向量(本徵向量)是一個非退化的向量,其方向在該變換【2】下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特徵值(本徵值)。 圖1給出了一幅圖像的例子。一個變換通常可以由其特徵值和特徵向量完全描述。特徵空間是相同特徵值的特徵向量的集合。

這些概念在純數學和應用數學的很多領域發揮著巨大的作用—在線性代數,泛函分析,甚至在一些非線性的情況中也有著顯著的重要性。

「特徵」一詞來自德語的eigen。1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞,更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為「自身的」,「特定於...的」,「有特徵的」或者「個體的」—這強調了特徵值對於定義特定的變換有多重要。

定義
空間上的變換—如平移(移動原點),旋轉,反射,拉伸,壓縮,或者這些變換的組合;以及其它變換—可以通過它們在向量上的作用來顯示。向量可以用從一點指向另一點的箭頭來表示。

變換的特徵向量是指在變換下不變或者簡單地乘以一個縮放因子的非零向量【3】。
特徵向量的特徵值是它所乘的那個縮放因子。
特徵空間就是由所有有著相同特徵值的特徵向量組成的空間,還包括零向量,但要注意零向量本身不是特徵向量。
變換的主特徵向量是對應特徵值最大的特徵向量。
特徵值的幾何重次是相應特徵空間的維數。
有限維向量空間上一個變換的譜是其所有特徵值的集合。
例如,三維空間旋轉的特徵向量是沿著旋轉軸的一個向量,相應的特徵值是1,相應的特徵空間包含所有和該軸平行的向量。該特徵空間是一個一維空間,因而特徵值1的幾何重次是1。特徵值1是旋轉的譜當中唯一的實特徵值。

19 矩陣 -特徵向量

例子
隨著地球的自轉,每個從地心往外指的箭頭都在旋轉,除了在轉軸上的那些箭頭。考慮地球在一小時自轉后的變換:地心指向地理南極的箭頭是這個變換的一個特徵向量,但是從地心指向赤道任何一處的箭頭不會是一個特徵向量。因為指向極點的箭頭沒有被地球的自轉拉伸,它的特徵值是1。

另一個例子是,薄金屬板關於一個固定點均勻伸展,使得板上每一個點到該固定點的距離翻倍。這個伸展是一個有特徵值2的變換。從該固定點到板上任何一點的向量是一個特徵向量,而相應的特徵空間是所有這些向量的集合。
但是,三維幾何空間不是唯一的向量空間。例如,考慮兩端固定的拉緊的繩子,就像弦樂器的振動弦那樣(圖2.)。振動弦的原子到它們在弦靜止時的位置之間的帶符號那些距離視為一個空間中的一個向量的分量,那個空間的維數就是弦上原子的個數。

如果考慮繩子隨著時間流逝發生的變換,它的特徵向量,或者說特徵函數(如果將繩子假設為一個連續媒介),就是它的駐波—也就是那些通過空氣的傳播讓人們聽到弓弦和吉他的撥動聲的振動。駐波對應於弦的特定振動,它們使得弦的形狀隨著時間變化而伸縮一個因子(特徵值)。和弦相關的該向量的每個分量乘上了一個依賴於時間的因子。駐波的振幅(特徵值)在考慮到阻尼的情況下逐漸減弱。因此可以將每個特徵向量對應於一個壽命,並將特徵向量的概念和共振的概念聯繫起來。

特徵值方程

從數學上看,如果向量v與變換滿足


則稱向量v是變換的一個特徵向量,λ是相應的特徵值。其中是將變換作用於v得到的向量。這一等式被稱作「特徵值方程」。

假設是一個線性變換,那麼v可以由其所在向量空間的一組基表示為:


其中vi是向量在基向量上的投影(即坐標),這裡假設向量空間為n 維。由此,可以直接以坐標向量表示。利用基向量,線性變換也可以用一個簡單的矩陣乘法表示。上述的特徵值方程可以表示為:


但是,有時候用矩陣形式寫下特徵值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空間是無窮維的時候,上述的弦的情況就是一例。取決於變換和它所作用的空間的性質,有時將特徵值方程表示為一組微分方程更好。若是一個微分運算元,其特徵向量通常稱為該微分運算元的特徵函數。例如,微分本身是一個線性變換因為(若M和N是可微函數,而a和b是常數)


考慮對於時間t的微分。其特徵函數滿足如下特徵值方程:

,
其中λ是該函數所對應的特徵值。這樣一個時間的函數,如果λ = 0,它就不變,如果λ為正,它就按比例增長,如果λ是負的,它就按比例衰減。例如,理想化的兔子的總數在兔子更多的地方繁殖更快,從而滿足一個正λ的特徵值方程。

該特徵值方程的一個解是N = exp(λt),也即指數函數;這樣,該函數是微分運算元d/dt的特徵值為λ的特徵函數。若λ是負數,我們稱N的演變為指數衰減;若它是正數,則稱指數增長。λ的值可以是一個任意複數。因此d/dt的譜是整個複平面。在這個例子中,運算元d/dt作用的空間是單變數可微函數的空間。該空間有無窮維(因為不是每一個可微函數都可以用有限的基函數的線性組合來表達的)。但是,每個特徵值λ所對應的特徵空間是一維的。它就是所有形為N = N0exp(λt)的函數的集合。N0是任意常數,也就在t=0的初始數量。

譜定理
關於此話題更進一步的細節,見譜定理。

譜定理在有限維的情況,將所有可對角化的矩陣作了分類:它顯示一個矩陣是可對角化的,當且僅當它是一個正規矩陣。注意這包括自共軛(厄爾米特)的情況。這很有用,因為對角化矩陣T的函數f(T)(譬如波萊爾函數f)的概念是清楚的。在採用更一般的矩陣的函數的時候譜定理的作用就更明顯了。例如,若f是解析的,則它的形式冪級數,若用T取代x,可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對收斂。譜定理也允許方便地定義正運算元的唯一的平方根。

譜定理可以推廣到希爾伯特空間上的有界正規運算元,或者無界自共軛運算元的情況。

矩陣的特徵值和特徵向量

計算矩陣的特徵值和特徵向量
假設我們想要計算給定矩陣的特徵值。若矩陣很小,我們可以用特徵多項式進行符號演算。但是,對於大型矩陣這通常是不可行的,在那種情況我們必須採用數值方法。


符號演算
關於此話題更進一步的細節,見矩陣特徵值的符號演算。

求特徵值
描述正方形矩陣的特徵值的重要工具是特徵多項式:說λ是A的特徵值等價於說線性系統 (A – λI) v = 0 (其中I是恆等矩陣)有非零解v (一個特徵向量),因此等價於行列式:


函數p(λ) = det(A – λI)是λ的多項式,因為行列式定義為一些乘積的和。 這就是A的特徵多項式:矩陣的特徵值也就是其特徵多項式的零點。

一個矩陣A的特徵值可以通過求解方程pA(λ) = 0來得到。 若A是一個n×n矩陣,則pA為n次多項式,因而A最多有n個特徵值。 反過來,代數基本定理說這個方程剛好有n個根,如果重根也計算在內的話。所有奇數次的多項式必有一個實數根,因此對於奇數n,每個實矩陣至少有一個實特徵值。在實矩陣的情形,對於偶數或奇數的n,非實數特徵值成共軛對出現。

求特徵向量
一旦找到特徵值λ,相應的特徵值可以通過求解如下方程得到:


沒有實特徵值的一個矩陣的例子實順時針90度旋轉:


其特徵多項式是λ2 + 1,因此其特徵值成復共軛對出現:i, -i。相應的特徵向量也是非實數的。


數值計算
關於此話題更進一步的細節,見特徵值演算法。

在實踐中,大型矩陣的特徵值無法通過特徵多項式計算。計算該多項式本身相當費資源,而精確的「符號式」的根對於高次的多項式來說很難計算和表達:阿貝爾-魯費尼定理顯示高次(5次或更高)多項式的根無法用n次方根來簡單表達。對於估算多項式的根的有效演算法是有的,但特徵值中的小誤差可以導致特徵向量的巨大誤差。因此,尋找特徵多項式和特徵值的一般演算法,是迭代法。最簡單的方法是冪法:取一個隨機向量v,然後計算如下的一系列單位向量

, , , ...
這個序列幾乎總是收斂於最大絕對值的特徵值所對應的特徵向量。這個演算法很簡單,但是本身不是很有用。但是,象QR演算法這樣的演算法正是以此為基礎的。


 

20 矩陣 -性質

代數重次
A的一個特徵值λ的代數重次是λ作為A的特徵多項式的零點的次數;換句話說,若λ是一個該多項式的根,它是因子(t − λ)在特徵多項式中在因式分解后中出現的次數。一個n×n矩陣有n個特徵值,如果將代數重次計算在內的話,因為其特徵多項式次數為n。

一個代數重次1的特徵值為「單特徵值」。

在關於矩陣理論的條目中,可能會遇到如下的命題:

"一個矩陣A的特徵值為4,4,3,3,3,2,2,1,"
表示4的代數重次為二,3的是三,2的是二,而1的是1。這樣的風格因為代數重次對於矩陣理論中的很多數學證明很重要而被大量使用。

回想一下,我們定義特徵向量的幾何重次為相應特徵空間的維數,也就是λI − A的零空間。代數重次也可以視為一種維數:它是相應廣義特徵空間 (第一種意義)的維數,也就是矩陣(λI − A)k對於任何足夠大的k的零空間。也就是說,它是「廣義特徵向量」(第一種意義)的空間,其中一個廣義特徵向量是任何一個如果 λI − A作用連續作用足夠多次就「最終」會變0的向量。任何特徵向量是一個廣義特徵向量,以此任一特徵空間被包含於相應的廣義特徵空間。這給了一個幾何重次總是小於代數重次的簡單證明。這裡的第一種意義不可和下面所說的廣義特徵值問題混淆。

例如:


它只有一個特徵值,也就是λ = 1。其特徵多項式是(λ − 1)2,所以這個特徵值代數重次為2。但是,相應特徵空間是通常稱為x軸的數軸,由向量線性撐成,所以幾何重次只是1。

廣義特徵向量可以用於計算一個矩陣的若當標準型(參看下面的討論)。若當塊通常不是對角化而是冪零的這個事實與特徵向量和廣義特徵向量之間的區別直接相關。

21 矩陣 -一般矩陣分解定理

如上所述,譜定理表明正方形矩陣可以對角化當且僅當它是正規的。對於更一般的未必正規的矩陣,我們有類似的結果。當然在一般的情況,有些要求必須放鬆,例如酉等價性或者最終的矩陣的對角性。 所有這些結果在一定程度上利用了特徵值和特徵向量。下面列出了一些這樣的結果:

舒爾三角形式表明任何矩陣酉等價於一個上三角矩陣;
奇異值分解定理, A = UΣV * 其中Σ為對角陣,而U,V為酉矩陣。A = UΣV * 的對角線上的元素非負,而正的項稱為A的奇異值。這對非正方形矩陣也成立;
若當標準型,其中A = UΛU − 1 其中Λ不是對角陣,但是分塊對角陣,而U是酉矩陣。若當塊的大小和個數由特徵值的幾何和代數重次決定。若當分解是一個基本的結果。從它可以立即得到一個正方形矩陣可以完全用它的特徵值包括重次來表述,最多只會相差一個酉等價。這表示數學上特徵值在矩陣的研究中有著極端重要的作用。
作為若當分解的直接結果,一個矩陣A可以「唯一」地寫作A = S + N其中S可以對角化,N是冪零的(也即,對於某個q,Nq=0),而S和N可交換(SN=NS)。
任何可逆矩陣A可以唯一地寫作A = SJ,其中S可對角化而J是么冪矩陣 (也即,使得特徵多項式是(λ-1)的冪,而S和J可交換)。

特徵值的一些另外的屬性
譜在相似變換下不變: 矩陣A和P-1AP有相同的特徵值,這對任何矩陣A和任何可逆矩陣 P都成立。譜在轉置之下也不變:矩陣A和AT有相同的特徵值。

因為有限維空間上的線性變換是雙射當且僅當它是單射,一個矩陣可逆當且僅當所有特徵值都不是0。

若當分解的一些更多的結果如下:

一個矩陣是對角陣當且僅當代數和幾何重次對於所有特徵值都相等。特別的有,一個n×n矩陣如果有n不同特徵值,則總是可以對角化的。
矩陣作用的向量空間可以視為其廣義特徵向量所撐成的不變子空間的直和。對角線上的每個塊對應於該直和的一個子空間。若一個塊是對角化的,其不變子空間是一個特徵空間。否則它是一個廣義特徵空間,如上面所定義;
因為跡,也就是矩陣主對角線元素之和,在酉等價下不變,若當標準型說明它等於所有特徵值之和;
類似的有,因為三角矩陣的特徵值就是主對角線上的項,其行列式等於等於特徵值的乘積(按代數重次計算出現次數)。
正規矩陣的一些子類的譜的位置是:

一個厄爾米特矩陣(A = A*)的所有特徵值是實數。進一步的有,所有正定矩陣(v*Av > 0 for all vectors v)的所有特徵值是正數;
所有斜厄爾米特矩陣(A = −A*)的特徵值是純虛數;
所有酉矩陣(A-1 = A*)的特徵值絕對值為1;
假設A是一個m×n矩陣,其中m ≤ n,而B是一個n×m矩陣。則BA有和AB相同的特徵值加上n − m個等於0的特徵值。

每個矩陣可以被賦予一個運算元范數。運算元范數是其特徵值的模的上確界,因而也是它的譜半徑。該范數直接和計算最大模的特徵值的冪法直接相關。當一個矩陣是正規的,其運算元范數是其特徵值的最大模,並且獨立於其定義域的范數。

共軛特徵向量
一個共軛特徵向量或者說共特徵向量是一個在變換下成為其共軛乘以一個標量的向量,其中那個標量稱為該線性變換的共軛特徵值或者說共特徵值。共軛特徵變數和共軛特徵值代表了和常規特徵向量和特徵值相同的信息和含義,但是在交替坐標系統被使用的時候出現。對應的方程是:


例如,在相干電磁散射理論中,線性變換A代表散射物體施行的作用,而特徵向量表示電磁波的極化狀態。在光學中,坐標系統按照波的觀點定義,稱為前向散射對齊 (FSA),從而導致了常規的特徵值方程,而在雷達中,坐標系統按照雷達的觀點定義,稱為後向散射對齊 (BSA),從而給出了共軛特徵值方程。

22 矩陣 -廣義特徵值問題

一個廣義特徵值問題(第二種意義)有如下形式


其中A和B為矩陣。其廣義特徵值(第二種意義)λ 可以通過求解如下方程得到


形如A − λB的矩陣的集合,其中λ是一個複數,稱為一個「鉛筆」。 若B可逆,則最初的問題可以寫作如下形式


也即標準的特徵值問題。但是,在很多情況下施行逆操作是不可取的,而廣義特徵值問題應該如同其原始表述來求解。

如果A和B是實係數的對稱矩陣,則特徵值為實數。這在上面的第二種等價表述中並不明顯,因為矩陣B − 1A未必是對稱的。

這裡的一個例子是分子軌道應用如下。

係數為環中元素
在方矩陣A,其係數屬於一個環的情況,λ稱為一個右特徵值如果存在一個列向量x使得Ax=λx,或者稱為一個左特徵值如果存在非零行向量y使得yA=yλ。

若環是可交換的,左特徵值和右特徵值相等,並簡稱為特徵值。否則,例如當環是四元數集合的時候,它們可能是不同的。
若向量空間是無窮維的,特徵值的概念可以推廣到譜的概念。譜是標量λ的集合,對於這些標量,沒有定義,也就是說它們使得沒有有界逆。

很明顯,如果λ是T的特徵值,λ位於T的譜內。一般來講,反過來並不成立。在希爾伯特空間或者巴拿赫空間上有一些運算元完全沒有特徵向量。這可以從下面的例子中看到。 在希爾伯特空間(所有標量級數的空間,每個級數使得收斂)上的雙向平移沒有特徵向量卻有譜值。

在無窮維空間,有界運算元的譜系總是非空的,這對無界自共軛運算元也成立。通過檢驗譜測度,任何有界或無界的自共軛運算元的譜可以分解為絕對連續,離散,和孤立部分。指數增長或者衰減是連續譜的例子,而振動弦駐波是離散譜例子。氫原子是兩種譜都有出現的例子。氫原子的束縛態對應於譜的離散部分,而離子化狀態用連續譜表示。圖3用氯原子的例子作了解釋。
應用
薛定諤方程
一個變換用微分運算元代表的特徵值方程的例子是量子力學中的時不變薛定諤方程

HΨE = EΨE
其中H是哈密爾頓運算元,一個二階微分運算元而ΨE是波函數,對應於特徵值E的特徵函數,該值可以解釋為它的能量。


圖4. 一個氫原子中的一個電子的束縛態所對應的波函數可以視為氫原子哈密爾頓運算元的一個特徵向量,也是角動量運算元的一個特徵向量。它們對應於可以解釋為它們的能量(遞增:n=1,2,3,...)和角動量(遞增:s, p, d,...)的特徵值。這裡畫出了波函數絕對值的平方。更亮區域對應於位置測度的更高概率密度。每幅圖的中心都是原子核,一個質子但是,在這個情況我們只尋找薛定鄂方程的束縛態解,就像在量子化學中常做的那樣,我們在平方可積的函數中尋找ΨE。因為這個空間是一個希爾伯特空間,有一個定義良好的標量積,我們可以引入一個基集合,在其中ΨE和H可以表示為一個一維數組和一個矩陣。這使得我們能夠用矩陣形式表達薛定鄂方程。(圖4代表氫原子哈密爾頓運算元的最低能級特徵函數。)

狄拉克記法經常在這個上下文中使用,以強調狀態的向量和它的表示,函數ΨE之間的區別。在這個情況下,薛定鄂方程寫作


並稱是H的一個本徵態(H有時候在入門級課本中寫作),H被看作是一個變換(參看觀測值)而不是一個它用微分運算元術語進行的特定表示。在上述方程中,理解為通過應用H到得到的一個向量。

23 矩陣 -分子軌道

在量子力學中,特別是在原子物理和分子物理中,在Hartree-Fock理論下,原子軌道和分子軌道可以定義為Fock運算元的特徵向量。相應的特徵值通過Koopmans定理可以解釋為電離勢能。在這個情況下,特徵向量一詞可以用於更廣泛的意義,因為Fock運算元顯式地依賴於軌道和它們地特徵值。如果需要強調這個特點,可以稱它為隱特徵值方程。這樣地方程通常採用迭代程序求解,在這個情況下稱為自洽場方法。在量子化學中,經常會把Hartree-Fock方程通過非正交基集合來表達。這個特定地表達是一個廣義特徵值問題稱為Roothaan方程。

24 矩陣 -因子分析

在因素分析中,一個協變矩陣的特徵向量對應於因素,而特徵值是因素負載。因素分析是一種統計學技術,用於社會科學和市場分析、產品管理、運籌規劃和其他處理大量數據的應用科學。其目標是用稱為因素的少量的不可觀測隨機變數來解釋在一些可觀測隨機變數中的變化。可觀測隨機變數用因素的線性組合來建模,再加上「殘差項。


圖5. 特徵臉是特徵變數的例子特徵臉
在圖像處理中,臉部圖像的處理可以看作分量為每個像素的輝度的向量。該向量空間的維數是像素的個數。一個標準化面部圖形的一個大型數據集合的協變矩陣的特徵向量稱為特徵臉。它們對於將任何面部圖像表達為它們的線性組合非常有用。特徵臉提供了一種用於識別目的的數據壓縮的方式。在這個應用中,一般只取最大那些特徵值所對應的特徵臉。

慣量張量
在力學中,慣量的特徵向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質心轉動的關鍵數據。

應力張量
在固體力學中,應力張量是對稱的,因而可以分解為對角張量,其特徵值位於對角線上,而特徵向量可以作為基。因為它是對角陣,在這個定向中,應力張量沒有剪切分量;它只有主分量。

圖的特徵值
在譜系圖論中,一個圖的特徵值定義為圖的鄰接矩陣A的特徵值,或者(更多的是)圖的拉普拉斯運算元矩陣I − T − 1 / 2AT − 1 / 2,其中T是對角陣表示每個頂點的度數,在T − 1 / 2中,0用於取代0 − 1 / 2。圖的主特徵向量用於測量其頂點的中心度。Google的PageRank演算法就是一個例子。www圖的修正鄰接矩陣的主特徵向量的分量給出了頁面評分。

25 矩陣 -備註

^  T. W Gorczyca, Auger Decay of the Photoexcited Inner Shell Rydberg Series in Neon, Chlorine, and Argon, 第18次X射線和內殼層進程國際會議的摘要,芝加哥,1999年8月23-27日。
^  在這個上下文,只考慮從一個向量空間到自身的線性變換。
^  因為所有線性變換保持零向量不變,它不作為一個特徵向量。

上一篇[鋸齒巴非蛤]    下一篇 [詔獄]

相關評論

同義詞:暫無同義詞