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1稠密

對於數軸上的一個點集,如果說在集合中任意兩點之間都能夠找到該集合中的另一個點,我們就說該點集處處稠密。例如,全體有理數集合就是稠密的,任意接近的兩個有理數之間都存在其它的有理數(比如它們的算術平均值)。

2稠密集

在拓撲學及數學的其它相關領域,給定拓撲空間X及其子集A,如果對於X中任一點xx的任一鄰域同A的交集不為空,則A稱為在X稠密。直觀上,如果X中的任一點x可以被A中的點很好的逼近,則稱AX稠密
等價地說,AX稠密當且僅當X中唯一包含A的閉集是X自己。或者說,A的閉包是X,又或者A的補集的內部是空集。

3度量空間中的稠密集

在度量空間(E,d)中,也可以定義稠密集為:AE的一個子集X稠密當且僅當對於X中的任一元素x,都存在A中的一個元素列,其極限是x
如果E是一個完備的度量空間,那麼一列在E 中稠密的開集 的交集 仍然在 E中稠密。這個結論可以由貝爾綱定理直接推出。

4例子

1.每一拓撲空間是其自身的稠密集。
2.有理數域和無理數域是實數域中的稠密集(在通常拓撲意義下)。
3.度量空間M是其完備集γM中的稠密集。
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