評論(0

積分中值定理

標籤:數學高等數學積分學中值定理

積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值, 或者是將複雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法, 是數學分析的基本定理和重要手段, 在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。

1定理名稱

意義
積分中值定理(Mean value theorem of integrals)

2定理意義

積分中值定理揭示了一種將積分化為函數值, 或者是將複雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法, 是數學分析的基本定理和重要手段, 在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。

3定理內容

若函數 f(x) 在閉區間[a, b]上連續,,則在積分區間 [a, b]上至少存在一個點 ξ,使下式成立
積分中值定理

  積分中值定理

其中,a、b、ξ滿足:a≤ξ≤b,

4定理證明

證明的方法有很多種,這裡給出最常見的一種。如圖:
證明過程

  證明過程

5定理式

第二定理
一、如果函數f(x)、g(x)在閉區間[a,b]上可積, 且f(x)為單調函數,則在積分區間[a,b]上至少存在一個點ξ, 使下式成立:
積分第二中值定理表達式1

  積分第二中值定理表達式1

二、如果函數f(x)、g(x)在閉區間上可積, 且f(x)≥0 並是單調遞減函數, 則在積分區間[a,b]上至少存在一個點ξ, 使下式成立:
積分第二中值定理表達式2

  積分第二中值定理表達式2

三、如果函數f(x)、g(x)在閉區間[a,b]上可積, 且f(x)≥0 並是單調遞增函數, 則在積分區間[a,b]上至少存在一個點ξ, 使下式成立:
積分第二中值定理表達式3

  積分第二中值定理表達式3

6定理應用

積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉, 或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數, 從而使問題簡化。因此, 對於證明有關題設中含有某個函數積分的等式或不等式,或者要證的結論中含有定積分, 或者所求的極限式中含有定積分時,一般應考慮使用積分中值定理, 去掉積分號, 或者化簡被積函數。
問題運用
某些帶積分式的函數, 常常會有要求判定某些性質的點的存在的問題, 有時運用積分中值定理能使問題迎刃而解。
例題2

  例題2

不等式證明
積分不等式是指不等式中含有兩個以上積分的不等式,當積分區間相同時,先合併同一積分區間上的不同積分,根據被積函數所滿足的條件,靈靈活運用積分中值定理,以達到證明不等式成立的目的。
在證明定積分不等式時, 常常考慮運用積分中值定理, 以便去掉積分符號, 如果被積函數是兩個函數之積時, 可考慮用積分第一或者第二中值定理。對於某些不等式的證明, 運用原積分中值定理只能得到「≥」的結論, 或者不等式根本不能得到證明。而運用改進了的積分中值定理之後, 則可以得到「>」的結論, 或者成功的解決問題。
例題4

  例題4

上一篇[《阿爾菲》]    下一篇 [《先驅報》]

相關評論

同義詞:暫無同義詞