空間區域

1空間區域

空間的維數
維度(又稱維數)是數學中獨立參數的數目。在物理學和哲學的領域內,指獨立的時空坐標的數目。
我們所居於的時空有四個維(3個空間軸和1個時間軸)。我們周圍的空間有3個維(上下,前後,左右)。我們可以往上下、東南西北移動,其他方向的移動只需用3個三維空間軸來表示。向下移就等於負方向地向上移,向西北移就只是向西和向北移的混合。
時間是第四維,與三個空間維不同的是,它只有一個,且只能往一方向前進。
有些理論預言我們所居於的宇宙實際上有更多的維度(通常10,11 或 26 個)。但是這些附加的維度所量度的是次原子大小的的宇宙。(請參看弦論)
維度是理論模型,在非經典物理學中這點更為明顯。所以我們不用計較宇宙的維數是多少,只要方便描述就行了。
在數學上,通俗地說,維數是這樣一個正整數,在一個空間中要定出一個點所需要的最少的數字的個數,而且用這麼多個數字也能而且只能定出一個該空間的點。

2空間區域

n維空間里個一個點集合N叫做一個區域,是指它具有連通性,也就是說N裡面的任何兩個點,都能用一條完全含於N的簡單閉折線連起來。往細了說還有開域,閉域等。

3平面直線劃分平面所成的區域個數

平面就是二維空間,直線是一維空間。在初等幾何里平面上的直線有兩種關係:相交和平行。題目所研究的是平面n條直線將平面劃分成的區域(不包括零維空間,即點)的塊數fn的計算。
1、平面上有n條直線,並且它們沒有互相平行的,也沒有哪三條直線相交於一點(換一句話說,就是:任二相交,任三不共點)。那麼他們將空間劃分成fn=n(n+1)/2+1塊區域。這個極容易用數學歸納法證明:
n=0時是成立的,假設在n=k時也成立,那麼就是說fk=k(k+1)/2+1,現在再多一條直線,它與原來的k條直線都相交,而且不通過原來那些直線的交點,那麼這條直線就被分成了(k+1)段,每一段都將空間的區域多劃分出了一塊,所以fk+1=k(k+1)/2+1+k+1=(k+1)(k+2)/2+1所以公式對於n=k+1也是成立的。綜合起來就有對所有的自然數n,公式都成立,證完。
2、平面上有n條直線,他們中有超過2條直線相交於一個點,也有互相平行的直線存在
這個時候情況稍微複雜一點:先約定兩的名詞:1、p結,就是一個點,有p條直線通過它。2、q行(xing),是這樣的q條直線:它們互相平行。
現在有兩條定理:
(1)每一個p結,都使平面的區域損失P=p(p+1)/2+1-2p塊。
(2)每一個q行,都使平面的區域損失Q=q(q+1)/2-q塊。
注意:這裡說的損失,是相對於n條直線,它們沒有互相平行的,也沒有哪三條直線相交於一點這種情況來說的。例如:面上有n條直線,它們中有1個p結,有1個q行,則它們將把平面劃分成n(n+1)/2+1-(p(p+1)/2+1-2p)-(q(q+1)/2+1-q)塊。如果有很多結,分別是p1結,p2結,……pm結,則用n(n+1)/2+1分別減去它們對應損失的區域塊數,有行也是同理。
上面兩個定理的證明很容易:直接單純考慮平面上的p條相交於一點的直線可以得到(1),又單純考慮平面上q條互相平行的直線可以得到(2)。在此不再作出。這個簡單的結果是由l0i(Baidu ID)得到。
如果不是直線劃分平面,而是平面劃分三維空間,那麼情況會更加複雜,或者說更加一般的是:用n-1維空間去劃分n維空間而得到的n維區域的個數,那麼情況是相當複雜的,剛才只不過是得到了n=2的情況而已。
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