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不含任何元素的集合稱為空集。空集是一切集合的子集。

1 空集 -簡介

  表示方法:用符號φ、∅或者{ }表示。(注意:{∅}為有一個空集元素的集合,而不是空集)
  對任意集合 A,空集是 A 的子集;
  ∀A: ∅ ⊆ A
  對任意集合 A, 空集和 A 的並集為 A:
  ∀A: A ∪ ∅= A
  對任意集合 A, 空集和 A 的交集為空集:∀A: A ∩ ∅ = ∅
  對任意集合 A, 空集和 A 的笛卡爾積為空集:
  ∀A: A × ∅ = ∅
  空集的唯一子集是空集本身:
  ∀A: A ⊆ ∅ ⊆ A = ∅
  空集的元素個數(即它的勢)為零;特別的,空集是有限的:
  | ∅ | = 0
  對於全集,空集的補集為全集:
  Cu∅=U
  集合論中,兩個集合相等,若它們有相同的元素;那麼僅可能有一個集合是沒有元素的,即空集是唯一的。
  考慮到空集是實數線(或任意拓撲空間)的子集,空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集,是它的子集,因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集,是它的子集,因此空集是開集。另外,空集是緊緻集合,因為所有的有限集合是緊緻的。
  空集的閉包是空集。
  電腦上按住Alt,再按0216即可打出空集符號 Ø。

2 空集 -常見問題

  空集不是無;它是內部沒有元素的集合,而集合就是有。這通常是初學者的一個難點。將集合想象成一個裝有其元素的袋子的想法或許會有幫助;袋子可能是空的,但袋子本身確實是存在的。
  有些人會想不通上述第一條性質,即空集是任意集合A的子集。按照子集的定義,這條性質是說 { } 的每個元素x都屬於A。若這條性質不為真,那 { } 中至少有一個元素不在A中。由於{ }中沒有元素,也就沒有{ }的元素不屬於A了,得到{ }的每個元素都屬於 A, 即{ }是A的子集。

3 空集 -公理集合論

  在諸如策梅羅-弗蘭克爾集合論的公理集合論中,空集的存在性是由空集公理確定的。空集的唯一性由外延公理得出。
  使用分離公理,任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。例如:若 A 是集合,則分離公理允許構造集合 B = {x in A | x ≠ x},它就可以被定義為空集。

4 空集 -空集的運算

  空集(作為集合)上的運算也可能使人迷惑。(這是一種空運算。)例如:空集元素的和為 0,而它們的積為 1(見空積)。這可能看上去非常奇怪,空集中沒有元素,他們是怎麼相加和相乘的呢?最終,這些運算的結果更多被看成是運算的問題,而不是空集的。比如,可以注意到 0 是加法的單位元,而 1 是乘法的單位元。

5 空集 -空集和0

  根據定義,空集有 0 個元素,或者稱其視為 0。然而,這兩者的關係可能更進一步:在標準的自然數的集合論定義中,0 被定義為空集。

6 空集 -空集的範疇論

  若A為集合,則恰好存在從{ }到A的函數f,即空函數。結果,空集是集合和函數的範疇的唯一初始對象。
  空集只能通過一種方式轉變為拓撲空間,即通過定義空集為開集;這個空拓撲空間是有連續映射的拓撲空間的範疇的唯一初始對象。
  空集是任何非空集合的真子集。Φ只有一個子集,沒有真子集。{Φ }有兩個子集,一個是Φ一個是它本身
  定義:
  不含任何元素的集合成為空集。
  A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} c={5,4,3,2,1}
  例如,「A是B的子集」,意思是A的任何一個元素都是B的元素,即由任一 ,可以推出 ,但不能把A是B的子集解釋成A是由B中部分元素所組成的集合.因為B的子集也包括它本身,而這個子集是由B的全體元素組成的.
  空集也是B的子集,而這個集合中並不含有B中的元素.由此也可看到,把A是B的真子集解釋成A是由B的部分元素組成的集合也是不確切的.正確的說法應該把真子集的兩個特徵:「A是B的子集」和「B中至少有一個元素不屬於A」都指出.
  「空集是任何集合的子集」這句話是正確的,但是把空集說成是任何集合的真子集就不確切.因為空集是它本身的子集.正確的說法是「空集是任何非空集合的真子集」.總之,對於概念的解釋,語言表達必須確切.
  再如,「 AB是A在全集B中的補集」,不能把它簡單地說成 AB是A的補集,因為補集的概念是相對而言的,集合A在不同的全集中的補集是不同的,所以在描述補集概念時,一定要註明是在哪個例如,屬於符號「 」、不屬於符號「 」,它們只能用在元素與集合符號之間;包含關係「 」「 」、包含於(被包含)符號「 」或「 」,它們只能用在兩個集合符號之間.對此,必須引起學生充分注意,不能用錯,不要出現把a屬於{a}表示成a包含於{a},或a不包含於{a}之類的錯誤。
  又如,{0}是含有一個元素的集合,Φ是不含任何元素的集合,因此,有Φ包含於{0},不能寫成Φ={0} ,Φ屬於{0}。
  關於子集與真子集的記法,教科書中採用的是新的國家標準,與原教科書不盡相同,應該注意。
  關於補集,新的國家標準規定,集合A中子集B的補集或余集記為C A B ,如果行文中集合A已經很明確,則常常可以省去符號A,而記為C B。
  集合中的補集,簡單的說集合A的補集是沒有意義的。
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