標籤:實數

如果一個數x的立方等於a,即x的三次方等於a(x^3=a),即3個x連續相乘等於a,那麼這個數x就叫做a的立方根(cube root),也叫做三次方根。

1概念

讀作「三次根號a」其中,a叫做被開方數,3叫做根指數。(a等於所有數,包括0)如果被開方數還有指數,那麼這個指數(必須是三能約去的)還可以和三次根號約去。
求一個數a的立方根的運算叫做開立方。
所有實數有且只有一個立方根。立方根的性質 :⑴正數的立方根是正數.⑵負數的立方根是負數.⑶0的立方根是0.一般地,如果一個數X的立方等於 a,那麼這個數X就叫做a的立方根(cube root,也叫做三次方根)。也就是說,如果x3=a,那麼x叫做a的立方根。如2是8的立方根,-3分之2是-27分之8的立方根,0是0的立方根。
立方和開立方運算,互為逆運算。
互為相反數的兩個數的立方根也是互為相反數。
負數不能開平方,但能開立方。
正數的立方根是正數,負數的立方根是負數,0的立方根是0.

2比較

⑴做這兩個數的立方
⑵作差
⑶比較被開方數(如三次根號3大於三次根號2)
任何數(正數、負數、或零)的立方根如果存在的話,必定只有一個.

3區別聯繫

聯繫
二者都是與乘方運算互為逆運算
在部分科學計算器上面需要按SHIFT鍵+x3才可以打出來根號。
C++
求立方根的牛頓法基於如下事實,如果y是x的立方根的一個近似值,那麼下式將給出一個更好的近似值:
(x/y2+2y)/3請利用這一公式實現一個類似平方根過程的求立方根的過程。
代碼:
立方根
#include<iostream>
#include <math>
using namespace std;
float fun(float guess,float x){
if(abs(guess*guess*guess-x)<0.0000001) return guess;
else
return fun((x/guess/guess+2*guess)/3,x);
}
int main()
{
float a,b;
while(cin>>a>>b)
cout<<fun(a,b)<<endl;
return 0;
}
公式
X_(n+1)={X_n+[A/(X^(k-1)-X_n]1/k}
公式X_(n+1)={X_n+[A/(X^(k-1)-X_n]1/k} "_"表示下角標,「^」表示上角標。例如,X^2,表示x的平方;X_1表示第一個X。
例如,A=5,k=3.
公式:X(n+1)=Xn+(A/Xn^2-Xn)1/3
5介於1^3至2^3之間(1的3次方=1,2的3次方=8)
?
X_0可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我們取2.0.按照公式:
第一步:X_1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。輸入值大於輸出值,負反饋;
即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,0.75×1/3=0.25,
2-0.25=1.75,取2位數值,即1.7。
第二步:X_2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。輸入值小於輸出值,正反饋;
即5/1.7×1.7=1.73010,1.73-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,
⒈7+0.01=1.71。取3位數,比前面多取一位數。
第三步:X_3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}。輸入值大於輸出值,負反饋
第四步:X_4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.輸入值小於輸出值,正反饋;
這種方法可以自動調節,第一步與第三步取值偏大,但是計算出來以後輸出值會自動轉小;第二步,第四步輸入值偏小,輸出值自動轉大。X_4=1.7099.
當然也可以取1.1,1.2,1.3,。1.8,1.9中的任何一個。
開平方公式
X(n + 1) = Xn + (A / Xn Xn)1 / 2.。(n,n+1與是下角標)
例如,A=5:
5介於2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9都可以,我們最好取 中間值2.5。
第一步:2.5+(5/2.5-2.5)1/2=2.2;
即5/2.5=2,2-2.5=-0.5,-0.5×1/2=-0.25,2.5+(-0.25)=2.25,取2位數2.2。
第二步:2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23;
即5/2.2=2.27272,2.27272-2.2=-0.07272,-0.07272×1/2=-0.03636,2.2+0.03636=2.23。取3位數2.23。
第三步:2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
即5/2.23=2.2421525,,2.2421525-2.23=0.0121525,,0.0121525×1/2=0.00607,,2.23+0.006=2.236.,取4位數。
每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開方,即使你輸入一個錯誤的數值,也沒有關係,輸出值會自動調節,接近準確值。
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