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數學上,立體幾何(solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱— 因為實踐上這大致上就是我們生活的空間。一般作為平面幾何的後續課程。立體測繪(Stereometry)處理不同形體的體積的測量問題:圓柱,圓錐, 錐台, 球, 稜柱, 楔, 瓶蓋等等. 畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體,但是稜錐,稜柱,圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測量法,證明錐是等底等高的柱體積的三分之一,可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。

1 立體幾何 -基本概念

立體幾何

數學上,立體幾何(solid geometry)是3維歐氏空間的幾何的傳統名稱。 立體幾何一般作為平面幾何的後續課程。立體測繪(Stereometry)是處理不同形體的體積的測量問題。如:圓柱,圓錐, 圓台, 球, 稜柱,稜錐等等。    
畢達哥拉斯學派就處理過球和正多面體,但是稜錐,稜柱,圓錐和圓柱在柏拉圖學派著手處理之前人們所知甚少。                                                               尤得塞斯(Eudoxus)建立了它們的測量法,證明錐是等底等高的柱體積的三分之一,可能也是第一個證明球體積和其半徑的立方成正比的。

2 立體幾何 -立體幾何基本課題

立體幾何

課題內容包括:   

- 面和線的重合   

- 兩面角和立體角   

- 方塊, 長方體, 平行六面體   

立體幾何

- 四面體和其他稜錐   

- 稜柱   

- 八面體, 十二面體, 二十面體   

- 圓錐,圓柱   

- 球   

- 其他二次曲面: 迴轉橢球, 橢球, 拋物面 ,雙曲面   

公理
立體幾何

立體幾何中有4個公理   

公理1 如果一條直線上的兩點在一個平面內,那麼這條直線在此平面內.   

公理2 過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.   

公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點,那麼它們有且只有一條過該點的公共直線.   

公理4 平行於同一條直線的兩條直線平行.   

立體幾何

立方圖形   

立體幾何公式   

名稱 符號 面積S 體積V   

正方體 a——邊長 S=6a^2 V=a^3   

長方體 a——長 S=2(ab+ac+bc) V=abc   b——寬   c——高   

稜柱 S——底面積 V=Sh   h——高   

稜錐 S——底面積 V=Sh/3   h——高   

稜台 S1和S2——上、下底面積 V=h[S1+S2+√(S1S2)]/3   h——高   

擬柱體 S1——上底面積 V=h(S1+S2+4S0)/6   S2——下底面積   S0——中截面積   h——高   

圓柱 r——底半徑 C=2πr V=S底h=πrh   h——高   C——底面周長   S底——底面積 S底=πR^2   S側——側面積 S側=Ch   S表——表面積 S表=Ch+2S底   S底=πr^2   

空心圓柱 R——外圓半徑   r——內圓半徑   h——高 V=πh(R^2-r^2)   

直圓錐 r——底半徑   h——高 V=πr^2h/3   

圓台 r——上底半徑   R——下底半徑   h——高 V=πh(R^2+Rr+r^2)/3   

球 r——半徑   d——直徑 V=4/3πr^3=πd^3/6   

球缺 h——球缺高   r——球半徑   a——球缺底半徑 a^2=h(2r-h) V=πh(3a^2+h^2)/6 =πh2(3r-h)/3   

球台 r1和r2——球台上、下底半徑   h——高 V=πh[3(r12+r22)+h2]/6   

圓環體 R——環體半徑   D——環體直徑   r——環體截面半徑   d——環體截面直徑 V=2π^2Rr^2 =π^2Dd^2/4   

桶狀體 D——桶腹直徑   d——桶底直徑   h——桶高 V=πh(2D^2+d2^)/12 (母線是圓弧形,圓心是桶的中心)   V=πh(2D^2+Dd+3d^2/4)/15 (母線是拋物線形)   

註:初學者會認為立體幾何很難,但只要打好基礎,立體幾何將會變得很容易。學好立體幾何最關鍵的就是建立起立體模型,把立體轉換為平面,運用平面知識來解決問題,立體幾何在高考中肯定會出現一道大題,所以學好立體是非常關鍵的。 

三垂線定理

在平面內的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直,那麼它也和這條斜線垂直。   

三垂線定理的逆定理

在平面內的一條直線,如果和穿過這個平面的一條斜線垂直,那麼它也和這條斜線在平面的射影垂直。   

1,三垂線定理描述的是PO(斜線),AO(射影),a(直線)之間的垂直關係.   

2,a與PO可以相交,也可以異面.   

3,三垂線定理的實質是平面的一條斜線和平面內的一條直線垂直的判定定理.   

關於三垂線定理的應用,關鍵是找出平面(基準面)的垂線. 至於射影則是由垂足,斜足來確定的,因而是第二位的.   

從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序: 一垂,  二射,      三證.   即   

第一,找平面(基準面)及平面垂線   

第二,找射影線,這時a,b便成平面上的一條直線與 一條斜線.   

第三,證明射影線與直線a垂直,從而得出a與b垂直.   

註:   

1°定理中四條線均針對同一平面而言   

2°應用定理關鍵是找"基準面"這個參照系   

用向量證明三垂線定理   

 1)已知:PO,PA分別是平面a的垂線,斜線,OA是PA在a內的射影,b屬於a,且b垂直OA,

求證:b垂直PA   

證明:因為PO垂直a,所以PO垂直b,又因為OA垂直b 向量PA=(向量PO+向量OA)   

所以向量PA乘以b=(向量PO+向量OA)乘以b=(向量PO 乘以 b) 加 (向量OA 乘以 b )=O,   

所以PA垂直b。   

2)已知:PO,PA分別是平面a的垂線,斜線,OA是PA在a內的射影,b屬於a,且b垂直PA,

求證:b垂直OA   

證明:因為PO垂直a,所以PO垂直b,又因為PA垂直b, 向量OA=(向量PA-向量PO)   

所以向量OA乘以b==(向量PA-向量PO)乘以b=(向量PA 乘以 b )減 (向量PO 乘以 b )=0,   

所以OA垂直b。

3 立體幾何 -二面角

定義

 平面內的一條直線把平面分為兩部分,其中的每一部分都叫做半平面,從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形,叫做二面角。(這條直線叫做二面角的棱,每個半平面叫做二面角的面)

二面角的平面角

 以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。   平面角是直角的二面角叫做直二面角。   兩個平面垂直的定義:兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直。

二面角的大小範圍

0≤θ≤π   相交時 0<θ<π,共面時 θ=π或0

二面角的求法

有六種:   

1.定義法   

2.垂面法   

3.射影定理   

4.三垂線定理   

5.向量法   

6.轉化法   

二面角一般都是在兩個平面的相交線上,取恰當的點,經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線,然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線,使他們在一個更理想的三角形中。   

由公式S射影=S斜面cosθ,作出二面角的平面角直接求出。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影,而且它們的面積容易求得   

也可以用解析幾何的辦法,把兩平面的法向量n1,n2的坐標求出來。然後根據n1·n2=|n1||n2|cosα,θ=α為兩平面的夾角。這裡需要注意的是如果兩個法向量都是垂直平面,指向兩平面內,所求兩平面的夾角θ=π-α   

二面角的通常求法

(1)由定義作出二面角的平面角;  

(2)作二面角棱的垂面,則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角;   

(3)利用三垂線定理(逆定理)作出二面角的平面角;   

(4)空間坐標求二面角的大小。   

  其中,(1)、(2)點主要是根據定義來找二面角的平面角,再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。   

(3)中利用三垂線定理求二面角,如圖,前提條件是平面α與平面β的交線為 l。直線AB垂直於平面β於B點,交α於A點,步驟是:  

第一步,過B作BP垂直於l與P。   

第二步,連接AP。則∠APB為二面角A-l-B的平面角。 

立體幾何三垂線法

第三步,求出∠APB的大小,即為二面角A-l-B的大小。   

如果是利用三垂線逆定理,前提條件相同,步驟是:   

第一步,過A作AP垂直於l與P。   

第二步,連接BP。則∠APB為二面角A-l-B的平面角。   

第三步,求出∠APB的大小,即為二面角A-l-B的大小。

求二面角大小的基本步驟

(1)作出二面角的平面角:   

A:利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角;   

B:利用面的垂線(三垂線定理或其逆定理)作平面角;   

C:利用與棱垂直的直線,通過作棱的垂面作平面角;

立體幾何

   

D:利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。   

(2)證明該角為平面角;   

(3)歸納到三角形求角。   

另外,也可以利用空間向量求出。

二面角與平面角的關係

 二面角的大小就用它的「平面角」來度量。二面角的平面角大小數值就等於二面角的大小。  

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