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如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表示。

1 等差數列 -一、 等差數列


  如果一個數列從第二項起,每一項與它的前一項的差等於同一個常數,這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差常用字母d表示。
  等差數列的通項公式為:an=a1+ (n-1)d ……………………(1)
  前n項和公式為:Sn=na1+ n(n-1)d/2或Sn=n(a1+ an)/2 …… (2)
  以上n均屬於正整數。
  從(1)式可以看出,an是n的一次函數(d≠0)或常數函數(d=0),(n,an)排在一條直線上,由(2)式知,Sn是n的二次函數(d≠0)或一次函數(d=0,a1≠0),且常數項為0。
  在等差數列中,等差中項:一般設為Ar,Am+ An=2Ar,所以Ar為Am,An的等差中項,且為數列的平均數。
  且任意兩項am,an的關係為:an=am+ (n-m)d
  它可以看作等差數列廣義的通項公式。
  從等差數列的定義、通項公式,前n項和公式還可推出:a1+ an=a2+ an-1=a3+ an-2=…=ak +an-k 1,k∈{1,2,…,n}
  若m,n,p,q∈N*,且m+ n=p +q,則有am +an=ap+ aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n 1=(2n 1)an 1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差數列,等等。
  和=(首項+末項)×項數÷2
  項數=(末項-首項)÷公差+1
  首項=2和÷項數-末項
  末項=2和÷項數-首項
  末項=首項 (項數-1)×公差
  等差數列的應用:
  日常生活中,人們常常用到等差數列如:在給各種產品的尺寸劃分級別
  時,當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,常按等差數列進行分級。
  若為等差數列,且有an=m,am=n.則a(m n)=0。
  3.等差數列的基本性質
  ⑴公差為d的等差數列,各項同加一數所得數列仍是等差數列,其公差仍為d.
  ⑵公差為d的等差數列,各項同乘以常數k所得數列仍是等差數列,其公差為kd.
  ⑶若、為等差數列,則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數)也是等差數列.
  ⑷對任何m、n ,在等差數列中有:a = a (n-m)d,特別地,當m = 1時,便得等差數列的通項公式,此式較等差數列的通項公式更具有一般性.
  ⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且l k p … = m n r … (兩邊的自然數個數相等),那麼當為等差數列時,有:a a a … = a a a … .
  ⑹公差為d的等差數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等差數列,其公差為kd( k為取出項數之差).
  ⑺如果是等差數列,公差為d,那麼,a ,a ,…,a 、a 也是等差數列,其公差為-d;在等差數列中,a -a = a -a = md .(其中m、k、 )
  ⑻在等差數列中,從第一項起,每一項(有窮數列末項除外)都是它前後兩項的等差中項.
  ⑼當公差d>0時,等差數列中的數隨項數的增大而增大;當d<0時,等差數列中的數隨項數的減少而減小;d=0時,等差數列中的數等於一個常數.
  ⑽設a 1,a 2,a 3為等差數列中的三項,且a1 與a2 ,a 2與a 3的項距差之比 = d( d≠-1),則2a2 = a1 a3.
  5.等差數列前n項和公式S 的基本性質
  ⑴數列為等差數列的充要條件是:數列的前n項和S 可以寫成S = an bn的形式(其中a、b為常數).
  ⑵在等差數列中,當項數為2n (n N )時,S -S = nd, = ;當項數為(2n-1) (n )時,S -S = a , = .
  ⑶若數列為等差數列,則S ,S -S ,S -S ,…仍然成等差數列,公差為 .
  ⑷若兩個等差數列、的前n項和分別是S 、T (n為奇數),則 = .
  ⑸在等差數列中,S = a,S = b (n>m),則S = (a-b).
  ⑹等差數列中, 是n的一次函數,且點(n, )均在直線y = x (a - )上.
  ⑺記等差數列的前n項和為S .①若a >0,公差d<0,則當a ≥0且a ≤0時,S 最大;②若a <0 ,公差d>0,則當a ≤0且a ≥0時,S 最小.
  3.等比數列的基本性質
  ⑴公比為q的等比數列,從中取出等距離的項,構成一個新數列,此數列仍是等比數列,其公比為q ( m為等距離的項數之差).
  ⑵對任何m、n ,在等比數列中有:a = a · q ,特別地,當m = 1時,便得等比數列的通項公式,此式較等比數列的通項公式更具有普遍性.
  ⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆為自然數,且t k,p,…,m … = m n r … (兩邊的自然數個數相等),那麼當為等比數列時,有:a .a .a .… = a .a .a .… ..
  ⑷若是公比為q的等比數列,則{| a |}、、、{ }也是等比數列,其公比分別為| q |}、、、{ }.
  ⑸如果是等比數列,公比為q,那麼,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 為公比的等比數列.
  ⑹如果是等比數列,那麼對任意在n ,都有a ·a = a ·q >0.
  ⑺兩個等比數列各對應項的積組成的數列仍是等比數列,且公比等於這兩個數列的公比的積.
  ⑻當q>1且a >0或0<q<1且a <0時,等比數列為遞增數列;當a >0且0<q<1或a <0且q>1時,等比數列為遞減數列;當q = 1時,等比數列為常數列;當q<0時,等比數列為擺動數列.
  4.等比數列前n項和公式S 的基本性質
  ⑴如果數列是公比為q 的等比數列,那麼,它的前n項和公式是S =
  也就是說,公比為q的等比數列的前n項和公式是q的分段函數的一系列函數值,分段的界限是在q = 1處.因此,使用等比數列的前n項和公式,必須要弄清公比q是可能等於1還是必不等於1,如果q可能等於1,則需分q = 1和q≠1進行討論.
  ⑵當已知a ,q,n時,用公式S = ;當已知a ,q,a 時,用公式S = .
  ⑶若S 是以q為公比的等比數列,則有S = S +qS .⑵
  ⑷若數列為等比數列,則S ,S -S ,S -S ,…仍然成等比數列.
  ⑸若項數為3n的等比數列(q≠-1)前n項和與前n項積分別為S 與T ,次n項和與次n項積分別為S 與T ,最後n項和與n項積分別為S 與T ,則S ,S ,S 成等比數列,T ,T ,T 亦成等比數列
  等差數列基本公式:
  末項=首項 (項數-1)×公差
  項數=(末項-首項)÷公差 1
  首項=末項-(項數-1)×公差
  和=(首項 末項)×項數÷2
  末項:最後一位數
  首項:第一位數
  項數:一共有幾位數
  和:求一共數的總和
  其實,中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了:
  今有女子不善織布,逐日所織的布以同數遞減,初日織五尺,末一日織一尺,計織三十日,問共織幾何?
  書中的解法是:並初、末日織布數,半之,余以乘織訖日數,即得。這相當於給出了Sn=(a1 an)/2×n的求和公式

2 等差數列 -二、等差數列小故事:

  高斯是德國數學家、天文學家和物理學家,被譽為歷史上偉大的數學家之一,和阿基米德、牛頓並列,同享盛名。
等差數列高斯照片

   高斯1777年4月30日生於不倫瑞克的一個工匠家庭,1855年2月23日卒于格丁根。幼時家境貧困,但聰敏異常,受一貴族資助才進學校受教育。1795~1798年在格丁根大學學習1798年轉入黑爾姆施泰特大學,翌年因證明代數基本定理獲博士學位。從1807年起擔任格丁根大學教授兼格丁根天文台台長直至逝世。
  高斯7歲那年,父親送他進了耶卡捷林寧國民小學,讀書不久,高斯在數學上就顯露出了常人難以比較的天賦,最能證明這一點的是高斯十歲那年,教師彪特耐爾布置了一道很繁雜的計算題,要求學生把1到 100的所有整數加起來,教師剛敘述完題目,高斯即刻把寫著答案的小石板交了上去。彪特耐爾起初並不在意這一舉動,心想這個小傢伙又在搗亂,但當他發現全班唯一正確的答案屬於高斯時,才大吃一驚。而更使人吃驚的是高斯的演算法,他發現:第一個數加最後一個數是101,第二個數加倒數第二個數的和也是101,……共有50對這樣的數,用101乘以50得到5050。這種演算法是教師未曾教過的計算等級數的方法,高斯的才華使彪特耐爾十分激動,下課後特地向校長彙報,並聲稱自己已經沒有什麼可教高斯的了。


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