標籤:等邊三角形正三角形

等邊三角形(又稱正三角形),為三邊相等的三角形,其三個內角相等,均為60°,它是銳角三角形的一種。

1概念

英文:equilateral triangle,「等邊三角形」也被稱為「正三角形」。
等邊三角形也是等腰三角形的一種。
如果一個三角形滿足下列任意一條,則它必滿足另一條,三邊相等或三角相等的三角形叫做等邊三角形:
1.三邊長度相等。
2.三個內角度數均為60度。
3.一個內角為60度的等腰三角形

2尺規作法

可以利用尺規作圖的方式畫出正三角形,其作法相當簡單:先用尺畫出一條任意長度的線段(這條線段的長度決定等邊三角形的邊長),
等邊三角形的尺規作圖

  等邊三角形的尺規作圖

再分別以線段二端點為圓心、線段為半徑畫圓,二圓匯交於二點,任選一點,和原來線段的兩個端點畫線段,則這二條線段和原來線段即構成一正三角形。
等邊三角形

3性質

⑴等邊三角形是銳角三角形,等邊三角形的內角都相等,且均為60°。
三線合一

  三線合一

⑵等邊三角形每條邊上的中線、高線和所對角的平分線互相重合(三線合一)
⑶等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸,對稱軸是每條邊上的中線、高線 或對角的平分線所在的直線。
空間對稱群 二面體群 (D3)
角和邊的數量 3
施萊夫利符號 {3}
內角的大小 60°
⑸等邊三角形重心、內心、外心、垂心重合於一點,稱為等邊三角形的中心。(四心合一)
⑹等邊三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值(等於其高)

4判定方法

⑴三邊相等的三角形是等邊三角形(定義)
⑵三個內角都相等(為60度)的三角形是等邊三角形
正三角形

  正三角形

⑶有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形
(4) 兩個內角為60度的三角形是等邊三角形
說明:可首先考慮判斷三角形是等腰三角形。
等邊三角形的性質與判定理解:
首先,明確等邊三角形定義。三邊相等的三角形叫做等邊三角形,也稱正三角形。
其次,明確等邊三角形與等腰三角形的關係。等邊三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等邊三角形。

5複數性質

A,B,C三點的複數構成正三角形 等價於 A+wB+w^2C=0 。
其中w=cos(2π/3)+isin(2π/3) ;1+w+w^2=0。

6相關公式

等邊三角形與圓的有關計算公式
邊長關係

  邊長關係

h=a sin60°=1/2 √3a
r=1/2 a cot(π/3)=1/2 a tan(π/6)=1/6 √3a
R=1/2 a csc(π/3)=1/2 a sec(π/6)=1/3 √3a
S=1/4 na²cot(π/3)=1/4 √3a²
Sr= πr²=1/12πa²表示內切圓面積,
SR=πR²=1/3πa²表示外接圓面積。
例:試證等邊三角形的高和其邊長的比為 √(3/4):1
證明:
作等邊三角形的一條高,將等邊三角形分為兩個全等的直角三角形,
設這個等邊三角形的邊長為a,則其中一個直角三角形一條直角邊長為1/2a,斜邊為a(即該等邊三角形.由勾股定理,(直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方),得另一條直角邊(即該等邊三角形的高)為 √a^2-(1/2a)^2 = √(3/4a) ,即證.
由上,可推導出等邊三角形的面積公式:
S=1/2ah= (1/2)×[√(3/4a)]= [(√3)/4]×a^2

7舉例證明

有關問題的證明
已知:△ABC中,∠A=60°,且AB+AC=a,
求證:當三角形的周長最短時,三角形是等邊三角形。
證明:AC=a-AB
根據餘弦定理
BC^2=AB^2+BC^2-2AB*BC*cosA
BC^2=AB^2+BC^2-AB*BC=AB^2+(a-AB)^2-AB*(a-AB)=3AB^2-3a*AB+a^2=3(AB-a/2)^2+a^2/4
所以當AB=a/2時,BC=a/2最小
AC=a-a/2=a/2
這時,周長為AB+AC+BC=a+BC=a+a/2=3a/2最短
AB=AC=BC=a/2
所以當周長最短時的三角形是正三角形。
上一篇[記數法]  

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