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素數定理描述素數的大致分佈情況。 素數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,素數的個數竟然有規可循。

1 素數定理 -素數定理

素數定理描述素數的大致分佈情況。 素數的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看,素數在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看,素數的個數竟然有規可循。對正實數x,定義π(x)為不大於x的素數個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

素數定理素數定理
:\pi(x)\approx\frac 其中ln x為x的自然對數。上式的意思是當x趨近∞,π(x) 和x/ln x的比趨近1(註:該結果為高斯所發現)。但這不表示它們的數值隨著x增大而接近。 下面是對π(x)更好的估計: :\pi(x)= (x) + O \left(x e^\right),當 x 趨近∞。 其中 (x) = \int_2^x \frac,而關係式右邊第二項是誤差估計,詳見大O符號。 下表比較了π(x),x/ln x和Li(x): x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x) 素數定理可以給出第n個素數p(n)的漸近估計: :p(n)\sim n\ln\,n. 它也給出從整數中抽到素數的概率。從不大於n的自然數隨機選一個,它是素數的概率大約是1/ln n。 這定理的式子於1798年法國數學家勒讓德提出。1896年法國數學家哈達瑪(Jacques Hadamard)和比利時數學家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後獨立給出證明。證明用到了複分析,尤其是黎曼ζ函數。 因為黎曼ζ函數與π(x)關係密切,關於黎曼ζ函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證,便能大大改進素數定理誤差的估計。1901年瑞典數學家Helge von Koch證明出,假設黎曼猜想成立,以上關係式誤差項的估計可改進為 : \pi(x) = (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right) 至於大O項的常數則還未知道。

2 素數定理 -初等證明

素數定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥(「愛爾多斯」,或「愛爾多希」)和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

素數定理素數定理
在此之前一些數學家不相信能找出不需藉助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素數定理必須以複分析證明,顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些間題,必須引進複數來解決。這是憑感覺說出來的,覺得一些方法比別的更高等也更厲害,而素數定理的初等證明動搖了這論調。Selberg-艾狄胥的證明正好表示,看似初等的組合數學,威力也可以很大。 category:數論 ja:素數定理

3 素數定理 -素數

素數,又稱質數,是只有兩個正因數(1和自己)的自然數。 比1大但不是素數的數稱之為合數,而1和0既非素數也非合數。素數的屬性稱為素性,素數在數論中有著非常重要的地位。 關於素數最小的素數是2,而最大的素數並不存在,這一點歐幾里德已在其《幾何原本》中證明。 圍繞素數存在很多的數學問題、數學猜想、數學定理,較為著名的有孿生素數猜想、哥德巴赫猜想等等。 素數序列的開頭是這樣: :2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,

素數定理素數定理
73,79,83,89,97,101,103,107,109,113 (OEIS:A000040) 素數集合有時也被表示成粗體 \mathbb。 在抽象代數的一個分支-環論中,素元素有特殊的含義,在這個含義下,任何素數的加法的逆轉也是素數。換句話說,將整數Z的集合看成是一個環,-7是一個素元素。不管怎樣,數學領域內,提到素數通常是指正素數。 算術基本定理說明每個正整數都可以寫成素數的乘積,因此素數也被稱為自然數的「建築的基石」例如: :23244 = 2^2 \times 3 \times 13 \times 149 關於分解的詳細方法,可見於整數分解這條目。 這個定理的重要一點是,將1排斥在素數集合以外。如果1被認為是素數,那麼這些嚴格的闡述就不得不加上一些限制條件了。

4 素數定理 -素數的數目

素數是無窮多的,對這個論斷,現在所已知的最古老的檢驗方法是歐幾里德在他的幾何原本中提出來的。他的檢驗方法可以簡單地總結如下: : 取有限個數的素數,

素數定理素數定理
因為要做自變數我們假設全部的素數都存在,將這些素數相乘然後加1,得到的數是不會被這些素數中的任何一個整除的,因為無論除哪個總會餘1。因此這個數要麼本身就是個素數,要麼存在不在這個有限集合內的約數。因此我們開始用的集合不包含所有的素數。 別的數學家也給出了他們自己的證明。歐拉證明了全部素數的倒數和發散到無窮的。恩斯特·庫默的證明尤其簡潔,Furstenberg用一般拓撲證明。 儘管整個素數是無窮的,仍然有人會問「100000以下有多少個素數?」,「一個隨機的100位數多大可能是素數?」。素數定理可以此問題。

5 素數定理 -尋找素數

尋找在給定限度內的素數排列,埃拉托斯特尼篩法法是個很好的方法。然而在實際中,我們往往是想知道一個給定數是否是素數,而不是生成一個素數排列。進而,知道答案是很高的概率就是已經很滿意的了,用素性測試迅速地檢查一個給定數(例如,有幾千位數的長度)是否是素數是可能的。典型的方法是隨機選取一個數,然後圍繞著這個數和可能的素數N檢查一些方程式。幾個整數后,

素數定理素數定理
它宣布這個數是明顯的和數或者可能是素數。這種方法是不完美的,一些測試,不論是否選取一個隨機數都有可能將一些合數判斷成可能的素數,這就引出了另一種數偽素數。 目前最大的已知素數是2^-1(此數字位長度是7,816,230),它是在2005年2月18日由GIMPS計劃發現。這計劃也在2004年5月15日發現了第二大的已知素數2^-1(此數字位長度是7,235,733)。 數學家一直努力找尋產生素數的公式,但截至目前為止,並沒有一個函數或是多項式可以正確產生所有的素數。歷史上有許多試驗的例子:17世紀初法國數學家梅森(Mersenne)在他的一個著作當中討論了這樣一種我們現在稱之為梅森素數的素數,Mp=2^p-1,本來以為只要p是一個素數,n=2^-1就會是一個素數,這在p=3,p=5,p=7都是正確的,但是p=11時 2^-1=2047=23x89就不是素數了。中國數學家和語言學家周海中於1992年首次給出了梅森素數分佈的精確表達式,為人們探究梅森素數提供了方便。後來這一重要成果被國際上命名為「周氏猜測」。 

6 素數定理 -未解之謎

- 哥德巴赫猜想:是否每個大於2的雙數均可寫成兩個質數之和?
- 孿生素數猜想:孿生素數就是差為2的素數對,例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數?
- 斐波那契數列是否存在無窮多的素數?
- 是否存在無窮多梅森素數?

素數定理素數定理

- 在n^2與(n+1)^2之間每隔n就有一個素數?
- 是否存在無窮個形式如n^2+1的素數?
- 黎曼猜想
- 是否存在不定長的素數算術級數

7 素數定理 -素數的應用

素數近來被利用在密碼學上,所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入素數,編碼之後傳送給收信人,任何人收到此信息后,若沒有此收信人所擁有的密鑰,則解密的過程中(實為尋找素數的過程),將會因為找素數的過程(分解質因數)過久而無法解讀信息。

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