評論(0

絕對值不等式

標籤: 暫無標籤

1 絕對值不等式 -簡介

  在不等式應用中,經常涉及重量、面積、體積等,也涉及某些數學對象(如實數、向量)的大小或絕對值。它們都是通過非負數來度量的。

  公式:| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|

2 絕對值不等式 -性質

  |a|表示數軸上的點a與原點的距離叫做數a的絕對值。

  兩個重要性質:1.|ab|=|a||b|;|a/b|=|a|/|b|

  2.|a|<|b| 可逆 a&sup2;;<b&sup2;;

  另外

  ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≤0時左邊等號成立,ab≥0時右邊等號成立。

3 絕對值不等式 -幾何意義

  1.當a,b同號時它們位於原點的同一邊,此時a與﹣b的距離等於它們到原點的距離之和。 2.當a,b異號時它們分別位於原點的兩邊,此時a與﹣b的距離小於它們到原點的距離之和。

  (|a-b|表示a-b與原點的距離,也表示a與b之間的距離)

4 絕對值不等式 -絕對值重要不等式

  我們知道

  |a|={a,(a>0), a,(a=0), ﹣a,(a<0),}

  因此,有

  ﹣|a|≤a≤|a| ......①

  ﹣|b|≤b≤|b| ......②

  同樣地

  ①,②相加得

  ﹣﹙|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|

  即 |a+b|≤|a|+|b| ......③

  易得,當且僅當ab≥0時,③式等號成立。由③可得

  |a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|......④

  即 |a|-|b|≤|a+b| ......⑤

  對④式,由上面知,當且僅當(a+b)(-b)≥0時等號成立,所以⑤式等號成立的充要條件是b(a+b)≤0。

  綜合③,⑤我們得到有關絕對值(absolute value)的重要不等式

  |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

5 絕對值不等式 -絕對值不等式解法

  解決與絕對值有關的問題(如解絕對值不等式,解絕對值方程,研究含有絕對值符號的函數等等),其關鍵往往在於去掉絕對值的符號。而去掉絕對值符號的基本方法有二:其一為平方,其二為討論。所謂平方,比如,|x|=3,可化為x^2;=9,絕對值符號沒有了!所謂討論,即x≥0時,|x|=x ;x<0時,|x|=-x,絕對值符號也沒有了!以下,具體說說絕對值不等式的解法。首先說「平方法」。不等式兩邊可不可以同時平方呢?一般來說,有點問題。比如5>3,平方后,5^2;>3^2;,但1>-2,平方后,1^2;<(-2)^2;。 事實上,本質原因在於函數y=x^2;在R上不單調。但我們知道,y=x^2;在R+上是單調遞增的,因此不等式兩邊都是非負時,同時平方,不等號的方向不變,這是可以的。這裡說到的單調性的問題,是高一,二數學的重點內容,現在不明白可以跳過,到時候可一定要用心聽! 有初中數學的基礎,也應該明白,對兩個非負數來說,大的那個數,它的平方也相應會大一些;反過來,平方大一些的數,這個數本來也會大一些。比如|2x-1|≥1,兩邊同時平方,可得(2x-1)^2;≥1,整理得4x^2;-4x≥0,即4x(x-1)≥0,因此x≤0或x≥1。

上一篇[胸膜炎]    下一篇 [工件]

相關評論

同義詞:暫無同義詞