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絕對無限(Absolute Infinite) 是數學家康托爾的超越超限數的無限概念。康托爾把絕對無限等同於神。他堅持絕對無限有各種數學性質,包括絕對無限的所有性質也被某些更小的對象所持有。
康托爾的觀點
引證康托爾所說:
實際無限在三個上下文中出現: 首先在它被認識於最完善的形式中,在完全獨立的其他世界的存在中,「in Deo」的時候,這裡我稱呼它為絕對無限或簡單的稱為無限;其次在它偶然性的出現在 神造世界中的時候;第三在精神「在觀念上」把它掌握為數學上的量、數或序類型的時候。[2]
康托爾還在著名的 1899年7月28日給 Richard Dedekind 的信中提到了這個想法*:
一個多重列(multiplicity)被稱為良序的,如果它符合所有子列都有第一個元素的條件;我把這種多重列簡稱為序列。現在我正視所有數的系統並把它指示為 Ω。系統 Ω 依照量是「序列」而處於它的自然排序下。現在讓我們毗連 0 作為給這個序列的一個額外元素,如果我們設置這個 0 在第一個位置上則 Ω* 仍是序列 ... 通過它你可欣然的自我確信,出現在其中的所有的數都是所有它前面元素的序列的序數。現在 Ω* (因此還有 Ω)不能是相容的多重列。因為如果 Ω* 是相容的,則作為良序集合,數 Δ 將屬於它,而它將大於系統 Ω 的所有的數;但是數 Δ 還屬於系統 Ω,因為由所有的數組成。所以 Δ 將大於 Δ,這是一個矛盾。所以所有序數的系統 Ω 是不相容的,絕對無限多重列。
關於絕對無限有兩個有趣的性質(這使得它有宛如神的性質):
①反射原理:Ω的所有性質必與其它超限數所共享。即Ω把它自己的性質向下反射到超限數上。
假設Ω具有獨特的性質p,而其它無限集都不具有這個性質。則我們可用性質p對Ω做唯一地描述,這樣一來,Ω就不是絕對的和不可定義的了。因此對Ω具有的任一性質至少有一個別的超限數也具有;進一步推理Ω的任一性質必為無限多個超限數共享,否則仍可將Ω定義為擁有這一性質的最大無限。所以假設不成立。
②不可達性:Ω不能被小於它的數構造出來。即Ω是不能從下面達到的。
推理過程與上面類似。假設Ω能被某個小於它的超限數構造出來,我們便可憑此構造對Ω作出定義。這破壞了Ω的不可定義性,所以Ω不可被小於它的數構造出來。因此我們說Ω是不能從下面達到的,或說它是不可達的。
Burali-Forti 悖論
所有序數的搜集在邏輯上不能存在,這個想法在很大程度是悖論性的。這與沒有最大序數的 Burali-Forti悖論有關。所有這些問題都可以回溯到,對於所有邏輯上可以定義的性質,都存在有這個性質的所有對象的一個集合的想法。但是在康托爾上述論證中,這個想法導致了困難。
更加一般的說,如 A.W. Moore 所表述的,集合形成的過程沒有終結,因此沒有作為「所有集合的全體」或「集合層次」的這種事物。任何這種總體自身必定是集合,所以位於這個層次中的某個地方而不能包含所有集合。
這個問題的標準解決可在 Zermelo集合論中找到,它不允許對任意性質的無限制的集合形成。轉而我們可以形成有某個給定性質並「位於沒有給定集合中」的所有對象的集合(Zermelo 的分離公理)。這允許在有限制意義上的集合形成,而(有希望)保存理論的相容性。
但是儘管它優雅的解決了邏輯問題,但哲學問題依舊。只要個體們存在這些個體的集合就應存在是很自然的。在樸素的意義上,集合論可以被稱為基於了這個概念。Zermelo 的修正將提交給我們一個更神秘的真類的概念: 在我們的理論中有著沒有作為一個對象(集合)的任何形式存在的對象的類。例如,所有集合的類就是這種真類。
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