標籤:空間幾何

纖維叢的理論,是1946年由美國的斯丁路特、美籍華人陳省身、法國的艾勒斯曼共同提出的。數學上,特別是在拓撲學中,一個纖維叢(fiber/fibre bundle)是一個局部看來像兩個空間的直積的空間,但是整體可能有不同的結構。

1理論介紹

每個纖維叢有個連續滿射
π: E → B
使得E對於某個F (稱為纖維空間)局部看來象直積空間
B × F
(這裡局部表示在B上局部。) 一個可以整體上如此表達的叢(通過一個保持π的同胚)叫做平凡叢。叢的理論建立在如何用一些比這個直接的定義更簡單的方法表達叢不是平凡叢的意義的問題之上。
纖維叢擴展了矢量叢,矢量叢的主要實例就是流形的切叢。他們在微分拓撲和微分幾何領域有著重要的作用。他們也是規範場論的基本概念。

2形式化定義

一個纖維叢由四元組(E,B,π,F)組成,其中E,B,F是拓撲空間而π: E → B是一個 連續滿射,滿足下面給出的局部平凡條件。B稱為叢的基空間,E稱為總空間,而F稱為纖維。映射π稱為投影映射.下面我們假定基空間B是連通的。
我們要求對於B中的每個x,存在一個x的開鄰域U,使得π?1(U)是同胚於積空間U × F的,並滿足π 轉過去就變成到第一個因子的投影。也就是一下的圖可交換:
其中Proj1 :U × F → U是自然投影而φ: π^-1(U) → U × F是一個同胚。所有{(U,φ)}的集合稱為叢的局部平凡化。
對於B中每個x,原象 π^-1(x) 和F同胚並稱為x上的纖維.一個纖維叢(E,B,π,F)經常記為
以引入一個空間的短恰當序列。注意每個纖維從π: E → B 都是一個開映射,因為積空間的投影是開映射。所以B 有由映射π決定的商拓撲.
一個光滑纖維叢是一個在光滑流形的範疇內的纖維叢。也就是,E,B,F都必須是光滑流形而所有上面用到的函數都必須是光滑映射。這是纖維叢研究和使用的通常環境。

3例子

令E = B × F 並令π: E → B為對第一個因子的投影,則E是B上的叢.這裡E不僅是局部的積而且是整體的積。任何這樣的纖維叢稱為平凡叢.
莫比烏斯帶是圓上的非平凡叢。
最簡單的非平凡叢的例子可能要算莫比烏斯帶(Möbius strip). 莫比烏斯帶是一個以圓為基空間B並以線段為纖維F的叢。對於一點的鄰域是一段圓弧;在圖中,就是其中一個方塊的長。原象π^-1(x)在圖中是個 (有些扭轉的)切片,4個方塊寬一個方塊長。同胚φ把U的原象映到柱面的一塊:彎曲但不扭轉.
相應的平凡叢B × F看起來像一個圓柱,但是莫比烏斯帶有個整體上的扭轉。注意這個扭轉只有整體上才能看出來;局部看來莫比烏斯帶和圓柱完全一樣(在其中任何一個豎直的切一刀會產生同樣的空間).
一個類似的非平凡叢是克萊因瓶,它可以看作是一個"扭轉"的圓在另一個圓上的叢。相應的平凡叢是一個環, S1 × S1.
一個覆蓋空間是一個以離散空間為纖維的纖維叢。
纖維叢的一個特例,叫做矢量叢,是那些纖維為矢量空間的叢(要成為一個矢量叢,叢的結構群—見下面—必須是一個線性群)。矢量叢的重要實例包括光滑流形的切叢和餘切叢。
另一個纖維叢的特例叫做主叢。更多的例子參看該條目。
一個球叢是一個纖維為n-球的纖維叢。給定一個有度量的矢量叢(例如黎曼流形的切叢),可以構造一個相應的單位球叢,其在一點x的纖維是所有Ex的單位矢量的集合.

4截面

纖維叢的截面 (section 或者 cross section)是一個連續映射f: B → E使得 π(f(x))=x 對於所有B中的x成立。因為叢通常沒有全局有定義的截面,理論的一個重要作用就是檢驗和證明他們的存在性。這導致了代數拓撲的特徵類理論。
纖維叢的局部截面是一個連續映射
截面經常只被局部的定義(特別是當全局截面不存在時)。纖維叢的局部截面是一個連續映射f: U → E 其中 U 是一個B中的開集而π(f(x))=x 對所有U中的x成立。若(U,φ)是一個局部平凡化圖,則局部截面在 U上總是存在的。這種截面和連續映射U → F有1-1對應。截面的集合組成一個層(sheaf)。
結構群(Structure groups)和轉換函數(transition functions)
纖維叢對稱群描述重疊的圖之間的兼容條件
纖維叢經常有一個對稱群描述重疊的圖之間的兼容條件。特別的,令G為一個拓撲群,它連續的從左邊作用在纖維空間F上。不失一般性的,我們可以要求G有效的作用在F上,以便把它看成是F的同胚群。叢的一個G-圖集(E,B,π,F)是一個局部平凡化,使得對任何兩個重疊的圖(Ui,φi)和(Uj,φj) 函數
可以這樣給出:
其中 是一個稱為變化函數的連續映射。兩個G-圖集等效如果他們的並也是一個G-圖集。一個G-叢是一個有G-圖集等價類的纖維叢。群G成為該叢的結構群.
在光滑範疇中,一個G-叢是一個光滑纖維叢,其中G是一個李群而相應的在F上的作用是光滑的並且變換函數都是光滑映射。
變換函數tij滿足以下條件
tii(x) = 1
tij(x) = tji(x) ^-1
tik(x) = tij(x)tjk(x)
這三個條件用到重疊的三元組上叫做余鏈條件cocycle condition (見?ech 上同調).
一個主叢 是一個G-叢,其纖維可以認為是G本身,並且有一個在全空間上的G的右作用保持纖維不變。

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