1羅爾(Rolle)中值定理

如果函數f(x)滿足以下條件:
①在閉區間[a,b]上連續,
②在(a,b)內可導,
③f(a)=f(b),
則至少存在一個ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0.

2羅爾中值定理的證明

證明:因為函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,所以存在最大值與最小值,分別用m和M表示,現在分兩種情況討論:
1.若M=m,則函數f(x)在閉區間[a,b]上必為常數,結論顯然成立
2.
若M>m,則因為f(a)=f(b)使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內某點ξ處取得,從而ξ是f(x)的極值費馬定理點,由條件f(x)在開區間(a,b)內可導得:f(x)在ξ處可導,故由推知:f'(ξ)=0。

3羅爾中值定理的幾何意義

若連續曲線y=f(x)在區間[a,b]上所對應的弧段AB,除端點外處處具有不垂直於x軸的切線,且在弧的兩個端點A,B處的縱坐標相等,則在弧AB上至少有一點C,使曲線在C點處的切線平行於x軸。

4範例解析

用羅爾中值定理證明:方程3ax^2+2bx-(a+b)=0在(0,1)內有實根.
設F(x)=ax^3+bx^2-(a+b)x,則F(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,F(0)=F(1)=0,所以由羅爾中值定理,至少存在一點ξ∈(0,1),使得F'(ξ)=0. F'(x)=3ax^2+2bx-(a+b),所以3aξ^2+2bξ-(a+b)=0,所以ξ是方程方程3ax^2+2bx-(a+b)=0在(0,1)內的一個實根.
結論得證.
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