標籤:數學理論

把所有集合分為2類,第一類中的集合以其自身為元素,第二類中的集合不以自身為元素,假令第一類集合所組成的集合為P,第二類所組成的集合為Q,於是有: P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 問,Q∈P 還是 Q∈Q? 若Q∈P,那麼根據第一類集合的定義,必有Q∈Q,但是Q中任何集合都有A∉A的性質,因為Q∈Q,所以Q¢Q,引出矛盾。若Q∈Q,根據第一類集合的定義,必有Q∈P,而顯然P∩Q=∅,所以Q∉Q,還是矛盾。 這就是著名的「羅素悖論」。羅素悖論還有一些較為通俗的版本,如理髮師悖論等。

1理論含義

羅素悖論:設性質P(x)表示「x不屬於x」,現假設由性質P確定了一個類A——也就是說「A=\{x|x不屬於x\}」。那麼問題是:A屬於A是否成立?首先,若A屬於A,則A是A的元素,那麼A具有性質P,由性質P知A不屬於A;其次,若A不屬於 A,也就是說A具有性質P,而A是由所有具有性質P的類組成的,所以A屬於A。
羅素悖論還有一些更為通俗的描述,如理髮師悖論、書目悖論。

2例子

理髮師悖論
在某個城市中有一位理髮師,他的廣告詞是這樣寫的:「本人的理髮技藝十分高超,譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎!」來找他刮臉的人絡繹不絕,自然都是那些不給自己刮臉的人。可是,有一天,這位理髮師從鏡子里看見自己的鬍子長了,他本能地抓起了剃刀,你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉,他就屬於「不給自己刮臉的人」,他就要給自己刮臉,而如果他給自己刮臉呢?他又屬於「給自己刮臉的人」,他就不該給自己刮臉。
理髮師悖論與羅素悖論是等價的:如果把每個人看成一個集合,這個集合的元素被定義成這個人刮臉的對象。那麼,理髮師宣稱,他的元素,都是城裡不屬於自身的那些集合,並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己?這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

3影響

十九世紀下半葉,德國數學家康托爾創立了著名的集合論,在集合論剛產生時,曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了,並且獲得廣泛而高度的讚譽。數學家們發現,從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年,國際數學家大會上,法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱,藉助集合論概念,我們可以建造整個數學大廈,我們可以說絕對的嚴格性已經達到了。
1903年,一個震驚數學界的消息傳出:集合論是有漏洞的!這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合理論產生了危機。它非常淺顯易懂,而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以,羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。德國的著名邏輯學家弗里茲在他的關於集合的基礎理論完稿付印時,收到了羅素關於這一悖論的信。他立刻發現,自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他只能在自己著作的末尾寫道:「一個科學家所碰到的最倒霉的事,莫過於是在他的工作即將完成時卻發現所乾的工作的基礎崩潰了。」
1874年,康托爾創立了集合論,很快滲透到大部分數學分支,成為它們的基礎。到 19世紀末,全部數學幾乎都建立在集合論的基礎之上了。就在這時,集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果,特別是1902年羅素提出的理髮師故事反映的悖論,它極為簡單、明確、通俗。於是,數學的基礎被動搖了,這就是所謂的第三次「數學危機」。
羅素的悖論發表之後,接著又發現一系列悖論(後來歸入所謂語義悖論):
  1. 理查德悖論
  2. 培里悖論
  3. 格瑞林和納爾遜悖論

4悖論的解決

羅素悖論提出后,數學家們紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造,通過對集合定義加以限制來排除悖論,這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄,以保證排除一切矛盾;另一方面又必須充分廣闊,使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」解決這一悖論在本質上存在兩種選擇,the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neumann-Bernays alternative。
1908年,策梅羅(Ernst Zermelo)在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系,後來這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。這一公理系統在通過 Abraham Fraenkel的該進后被稱為Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在該公理系統中,由於限制公理(The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms):P(x)是x的一個性質,對任意已知集合A,存在一個集合B使得對所有元素x∈B當且僅當x∈A且P(x);因此{x∣x是一個集合}並不能在該系統中寫成一個集合,由於它並不是任何已知集合的子集;並且通過該公理,存在集合A={x∣x是一個集合}在ZF系統中能被證明是矛盾的,因此羅素悖論在該系統中被避免了。
除ZF系統外,集合論的公理系統還有多種,如馮·諾伊曼(von Neumann)等人提出的NBG系統等。在the von Neumann-Bernays alternative中,所有包含集合的collection都能被稱為類(class),因此某些集合也能被稱為class,但是某些 collection太大了(比如一個collection包含所有集合)以至於不能是一個集合,因此僅僅是個class。這同樣也避免了羅素悖論。

5影響

公理化集合系統的建立,成功排除了集合論中出現的悖論,從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面,羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前,導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭,形成了現代數學史上著名的三大數學流派,而各派的工作又都促進了數學的大發展。
羅素悖論已被消除,包含自己的集合是不可能存在的。
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