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群上調和分析

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群上調和分析又稱群上傅里葉分析、抽象調和分析。它是古典調和分析(即傅里葉級數與傅里葉積分理論)的統一與推廣。它的研究對象是拓撲群上的函數或測度以及由它們構成的空間或代數。群上調和分析可以說是一門既具應用價值(正如它對概率論、數論與微分方程等所起的作用所說明的)又具理論意義的綜合性學科。

1基本簡介

法國科學家J.-B.-J.傅里葉由於當時工業上處理金屬的需要,從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中,發展了熱流動方程,並指出了任意周期函數都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想,雖然缺乏嚴格的論證,但對近代數學以及物理、工程技術卻都產生了深遠的影響,成為傅里葉分析的起源。
由三角函數系{cosnx,sinnx} (n=0,1,2,…)組成的無窮級數 稱為三角級數,其中αn,bn為係數,與x無關。若級數(1)對於一切x收斂,它的和記為ƒ(x):
ƒ(x)是一個具有周期2π的周期函數。上式兩邊分別乘以cosnx或sinnx,並且在(0,2π)上同時積分,就得到公式 上面的運算是形式的,因為符號Σ與積分的交換缺乏根據。為了保證上述運算的正確性,應當對級數(1)的收斂性加以必要的限制,例如一致收斂性等。但是,上面提供的純形式運算,卻提出了一個很有意義的問題:如果ƒ(x)是一個給定的以2π為周期的周期函數,通過(3)可以得到一列係數αn,bn,從而可構造出相應的三角級數(1)。這樣得到的三角級數(1)是否表示ƒ(x)?正是傅里葉,他首先認為這樣得到的級數(1)可以表示ƒ(x)。
給定ƒ(x),利用(3)得到的三角級數(1),稱為ƒ的傅里葉級數,而稱(3)為ƒ的傅里葉係數。這種思想可以推廣到任意區間上的正交函數系。特別,(n=0,±1,±2,…)是[0,2π]上的規範正交函數系,函數ƒ關於它的傅里葉級數為稱為ƒ的傅里葉級數的復形式。

2發展概況

傅里葉分析從誕生之日起,就圍繞著「ƒ的傅里葉級數究竟是否收斂於ƒ自身」這樣一個中心問題進行研究。當傅里葉提出函數可用級數表示時,他的想法還沒有得到嚴格的數學論證,實際的情形人們並不清楚。P.G.L.狄利克雷是歷史上第一個給出函數ƒ(x)的傅里葉級數收斂於它自身的充分條件的數學家。他的收斂判別法,后稱為狄利克雷-若爾當判別法。他證明了在一個周期上分段單調的周期函數ƒ的傅里葉級數,在它的連續點上必收斂於ƒ(x);如果ƒx點不連續,則級數的和是(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。順便指出,狄利克雷正是在研究傅里葉級數收斂問題的過程中,才提出了函數的正確概念。因為在他的判別法中,函數在一個周期內的分段單調性,可能導致該函數在不同區間上的不同解析表示,這自然應當把它們看做同一個函數的不同組成部分,而不是像當時人們所理解的那樣,認為一個解析表達式就是一個函數。
(G.F.)B.黎曼對傅里葉級數的研究也作出了貢獻。上面說過,確定ƒ的傅里葉係數,要用到積分式(3)。但是人們當時對積分的理解還不深入。黎曼在題為《用三角級數來表示函數》(1854)的論文中,為了使得更廣一類函數可以用傅里葉級數來表示,第一次明確地引進並研究了現在稱之為黎曼積分的概念及其性質,使得積分這個分析學中的重要概念,有了堅實的理論基礎。他證明了如果周期函數ƒ(x)在[0,2π]上有界且可積,則當n趨於無窮時ƒ的傅里葉係數趨於0。此外,黎曼還指出,有界可積函數ƒ的傅里葉級數在一點處的收斂性,僅僅依賴於ƒ(x)在該點近旁的性質。這個非常基本而重要的結果稱之為局部性原理。
G.G.斯托克斯和 P.L.von賽德爾引進了函數項級數一致收斂性的概念以後,傅里葉級數的收斂問題進一步受到了人們的注意。H.E.海涅在1870年的一篇論文中指出,有界函數ƒ(x)可以唯一地表示為三角級數這一結論,通常採用的論證方法是不完備的,因為傅里葉級數未必一致收斂,從而無法確保逐項積分的合理性。這樣,就可能存在不一致收斂的三角級數,而它確實表示一個函數。這就促使G.(F.P.)康托爾研究函數用三角級數表示是否唯一的問題。這種唯一性問題的研究,又促進了對各種點集結構的探討。G.康托爾第一次引進了點集的極限點以及導集等概念,為近代點集論的誕生奠定了基礎。
K.(T.W.)外爾斯特拉斯在1861年首次利用三角級數構造了處處不可求導的連續函數。他的這一發現震動了當時的數學界,因為長期的直觀感覺使人們誤認為,連續函數只有在少數一些點上才不可求導。

320世紀以來的發展

費耶爾求和法
正是基於上述原因,1904年,匈牙利數學家L.費耶爾首次考慮用部分和的算術平均代替級數的部分和,證明了傅里葉級數部分和序列的算術平均,在函數的連續點上,必收斂於函數自身。這樣,通過新的求和法,又能成功地用傅里葉級數表達連續函數。這無疑是傅里葉級數理論的一個重要進展。費耶爾之後,各種求和法相繼產生。一門新的學科分支,發散級數的求和理論,就此應運而生。
複變函數論方法
傅里葉級數與單位圓內解析函數的理論有著非常密切的聯繫。假設(1)是可積函數ƒ的傅里葉級數,簡單的計算表明,它是復變數z的冪級數
(5)
的實部。另一方面,級數(5)是單位圓內的解析函數,記為F(z)。這樣,傅里葉級數(1)可以通過單位圓內解析函數的理論來研究。這就是傅里葉分析中的複變函數論方法,它是20世紀前半葉研究傅里葉級數的一個重要工具。
豪斯多夫-楊定理
設1<p≤2,p┡=p/(p-1),如果ƒl(0,2π),Cnƒ的復傅里葉係數,那麼;
反之,如果{сn}(-∞<n<∞)是滿足的複數列,那麼{сn}必為中某函數ƒ的傅里葉係數,且 。
極大函數
20世紀50年代以前的重要工作中,還應當提到哈代與李特爾伍德的其他許多貢獻。特別是30年代,他們用極大函數研究傅里葉級數,取得了很深刻的結果。極大函數是一種運算元,它的定義是極大函數M (ƒ)(x)比函數自身要大,用它來控制傅里葉分析中某些運算元,可以達到估計其他運算元的目的。
50年代以前,傅里葉分析的研究領域基本上限於一維的具體空間,50年代以後的研究,逐漸向多維和抽象空間推廣。
群上的傅里葉分析
對於R=(-∞,∞)上定義的非周期可積函數ƒ(x),傅里葉積分
代替了傅里葉級數(1),而稱為ƒ的傅里葉變換。
傅里葉級數(1) 和傅里葉積分(10)的具體形式不同,但都反映了一個重要的事實,即它們都把函數ƒ分解為許多個分量e(-∞<z<∞)或e(n=0,±1,±2,…)之和。例如對於傅里葉級數(1),ƒ(x)分解為сne(n=0,±1,±2,…)之和;而傅里葉積分(10)則表明,ƒ(x)可以分解為無窮個 弮(z)e(-∞<z<∞)之「和」。分量的係數сn(n=0,±1,±2,…)以及弮(z)(-∞<z<∞)的確定,也有類似之處。事實上,它們都可以用下面的形式來表達:
。 (11)
ƒ為具有2π周期的周期函數時,G=(0,2π),
,測度 是G=[0,2π]上的勒貝格測度,此時 ,即傅里葉係數(4);當 ƒ為定義在 (-∞,∞) 上的非周期函數時,x(t)=(-∞<x<∞), 而是(-∞,∞)上的勒貝格測度,公式(11)即為傅里葉變換。
把函數ƒ分解為許多個「特殊」函數{e}之和的思想,啟發人們考慮更為深刻的問題。事實上,從群的觀點看,無論是周期函數還是非周期函數,它們的定義域都是拓撲群G,就是說,G有一個代數運算,稱為群運算,以及與之相協調的極限運算,稱為G的拓撲。傅里葉級數或傅里葉積分的任務,正是研究G上定義的函數ƒ(x)分解為群上許多「特殊」函數(例如e或e)之和的可能性,以及通過傅里葉係數或傅里葉變換來研究ƒ自身的性質。對於一般的拓撲群G,相當於{e}或{e}的「特殊」函數是哪種函數;把這種「特殊」函數x(t)代入公式(11),又必須確定G上的測度μ,以求出ƒ的傅里葉變換,這是在群上建立傅里葉分析理論所必須解決的兩個基本問題。對於直線群R=(-∞,∞),它的 「特殊」函數x(t)=e(-∞<x<∞)的特殊性,就在於它們滿足以下的三個條件:①x(t+s)=x(t)x(s),②|x(t)|=1,③x(t)是t的連續函數。用群表示論的術語來說,條件①、②、③合起來,正好說明x(t)是群R的一個酉表示,而且進一步可以證明,滿足①、②、③的不可約的酉表示的全體就是 {e}(-∞<x<∞)。對圓周群T而言,T的「特殊」函數全體xn(t)=e(n=0,±1,±2,…)除滿足①~③以外,還滿足條件④xn(2π)=1。從群表示論的觀點看,條件①~④合起來,說明T的「特殊」函數正好是群T的酉表示;進一步則可證明,T的一切不可約酉表示正好就是{e|n=0,±1,±2,…}。這樣,尋找一般抽象群G上合適的「特殊」函數的問題,就轉化為研究和尋找群G上一切不可約酉表示的問題。對於緊群或局部緊的交換群,群表示論的結果已經相當豐富,相應的「特殊」函數的研究也比較成熟。至於既非交換又非緊的拓撲群,尋找相應的「特殊」函數,尚是一個值得探索的難題。
研究拓撲群上的測度是建立群上傅里葉分析的另一個基本課題,因為群上的積分(11)離不開相應的測度。以可加的局部緊拓撲群R=(-∞,∞)為例,經典的勒貝格測度的主要特點是:①R中任一緊集的勒貝格測度必為有限;②R中任何可測集的勒貝格測度關於右(或左)平移是不變的。人們自然要問,一般的拓撲群上,具有①、②兩條件的測度(現在稱為哈爾測度)是否存在?存在的話,是否唯一?這個問題,自1930年以來,經A.哈爾,A.韋伊以及И.М.蓋爾范德等人的努力,已經證明,在局部緊的拓撲群上,滿足條件①、②的哈爾測度是一定存在的,並且相互間僅差常數倍。例如,以乘法為群運算的全體正實數構成一拓撲群R,它的拓撲就是歐氏空間的拓撲, 那麼測度dμ=xdx就是R上的哈爾測度。這是因為,對於任意的,
這說明測度dμ=xdx關於位移是不變的。如果進一步求出群R的一切不可約酉表示,則經過計算,可以證明R的一切不可約酉表示就是{x|- ∞<t<∞}。這樣,由公式(11),對於群R上的可積函數ƒ(x),ƒ的傅里葉變換。
上式表達的 弮(t)正好又是經典的所謂梅林變換Mƒ(x),是R.H.梅林19世紀末為研究狄利克雷級數的有關性質時引進的。這個特例說明,群上的傅里葉分析,不僅把梅林變換統一到傅里葉變換中來,更重要的是,群論觀點的引入,使得隱藏在某些現象背後的內在聯繫,被揭示得更清楚更深刻了。

4參考書目

A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed., Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.
E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions,Princeton Univ. Press,Princeton,1970.
G.M.Stein and G.Weiss,Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces,Princeton Univ.Press,Princeton,1971.
E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1~2, Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.
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