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自由度(degree of freedom, df)在數學中能夠自由取值的變數個數,如有3個變數x、y、z,但x+y+z=18,因此其自由度等於2。在統計學中,自由度指的是計算某一統計量時,取值不受限制的變數個數。通常df=n-k。其中n為樣本含量,k為被限制的條件數或變數個數,或計算某一統計量時用到其它獨立統計量的個數。自由度通常用於抽樣分佈中。

1 自由度 -綜述

  「自由度」(degrees of freedom, df)是在統計學,物理學,工程機械中的基本知識,通常用於抽樣分佈中。而電子遊戲中也有自由度這個概念。

2 自由度 -一、統計學

  統計學上的自由度是指當以樣本的統計量來估計總體的參數時, 樣本中獨立或能自由變化的資料的個數,稱為該統計量的自由度。 統計學上的自由度包括兩方面的內容:
  首先,在估計總體的平均數時,由於樣本中的 n 個數都是相互獨立的,從其中抽出任何一個數都不影響其他數據,所以其自由度為n。
  在估計總體的方差時,使用的是離差平方和。只要n-1個數的離差平方和確定了,方差也就確定了;因為在均值確定后,如果知道了其中n-1個數的值,第n個數的值也就確定了。這裡,均值就相當於一個限制條件,由於加了這個限制條件,估計總體方差的自由度為n-1。
  例如,有一個有4個數據(n=4)的樣本,其平均值m等於5,即受到m=5的條件限制,在自由確定4、2、5三個數據后, 第四個數據只能是9,否則m≠5。因而這裡的自由度υ=n-1=4-1=3。推而廣之,任何統計量的自由度υ=n-限制條件的個數。
  其次,統計模型的自由度等於可自由取值的自變數的個數。如在回歸方程中,如果共有p個參數需要估計,則其中包括了p-1個自變數(與截距對應的自變數是常量1)。因此該回歸方程的自由度為p-1。
  這個解釋,如果把「樣本」二字換成「總體」二字也說得過去。
  在一個包含n個個體的總體中,平均數為m。知道了n-1個個體時,剩下的一個個體不可以隨意變化。為什麼總體方差計算,是除以n而不是n-1呢?方差是實際值與期望值之差平方的期望值,所以知道總體個數n時方差應除以n,除以n-1時是方差的一個無偏估計。

3 自由度 -二、物理學

  完全確定一個物體在空間位置所需要的獨立坐標的數目,叫做這個物體的自由度。力學系統由一組坐標來描述。
  據熱力學中的能量均分定理,每個自由度的能量相等(當然沒考慮量子效應啦),都為Tk/2(振動包括動能和勢能,所以振動能量為(Tk/2)*2),單原子分子僅有3個平動自由度,所以為3Tk/2,非剛性三原子分子有3個平動自由度,3個轉動自由度,3個振動自由度所以為(3+3+3*2)Tk/2,剛性分子不用考慮振動,一般非剛性分子有3*n個自由度,3個平動自由度,3個轉動自由度,(n為原子個數,n>2),所以有3n-6個振動自由度。不能說每個分子的能量都是iTk/2,這是統計規律。質點自由度

  (1)一個質點在空間任意運動,需用三個獨立坐標(x,y,z)確定其位置。所以自由質點有三個平動自由度 i = 3。 
  (2)如果對質點的運動加以限制(約束),自由度將減少。如質點被限制在平面或曲面上運動,則 i= 2;如果質點被限制在直線或平面曲線(不是空間曲線)上運動,則其自由度 i = 1。 剛體自由度

  一個剛體在空間任意運動時,可分解為質心 O』 的平動和繞通過質心某直線的定點轉動,它既有平動自由度還有轉動自由度。確定剛體質心O』的位置,需三個獨立坐標(x,y,z)—自由剛體有三個平動自由度 t = 3;
  確定剛體通過質心軸的空間方位──三個方位角(α,β,γ)中只有其中兩個是獨立的──需兩個轉動自由度;另外還要確定剛體繞通過質心軸轉過的角度θ──還需一個轉動自由度。這樣,確定剛體繞通過質心軸的轉動,共有三個轉動自由度 r = 3。所以,一個任意運動的剛體,總共有6個自由度,即3個平動自由度和3個轉動自由度,即i = t + r = 3 + 3 = 6 分子自由度

  自由度是物體運動方程中可以寫成的獨立坐標數,單原子分子有3個自由度,雙原子,三原子不考慮振動相當於剛體,分別有5個(3平2轉)、6個自由度(3平3轉),考慮振動后,雙原子加1個,三原子加2個。
  (1)單原子分子:如氦He、氖Ne、氬Ar等分子只有一個原子,可看成自由質點,所以有3個平動自由度 i = t = 3。 
  (2)剛性雙原子分子如氫 、氧 、氮 、一氧化碳CO等分子,兩個原子間聯線距離保持不變。就像兩個質點之間由一根質量不計的剛性細桿相連著(如同啞鈴),確定其質心O』的空間位置,需3個獨立坐標(x,y,z);確定質點聯線的空間方位,需兩個獨立坐標(如α,β),而兩質點繞聯線的的轉動沒有意義。所以剛性雙原子分子既有3個平動自由度,又有2個轉動自由度,總共有5個自由度 i = t + r =3 + 2 = 5。 
  (3)剛性三原子或多原子分子:如 H2O 、氨 等,只要各原子不是直線排列的,就可以看成自由剛體,共有6個自由度,i = t + r = 3 + 3 = 6。
  (4) 對於非剛性分子,由於在原子之間相互作用力的支配下,分子內部還有原子的振動,因此還應考慮振動自由度(以S 表示)。如非剛性雙原子分子,好像兩原子之間有一質量不計的細彈簧相連接,則振動自由度 S = 1。
  一般在常溫下,氣體分子都近似看成是剛性分子,振動自由度可以不考慮。
  力學系統由一組坐標來描述。比如一個質點的三維空間中的運動,在笛卡爾坐標系中,由x,y,z三個坐標來描述;或者在球坐標系中,由r,θ,φ三個坐標描述。描述系統的坐標可以自由的選取,但獨立坐標的個數總是一定的,即系統的自由度。一般的,N個質點組成的力學系統由3N個坐標來描述。但力學系統中常常存在著各種約束,使得這3N個坐標並不都是獨立的。對於N個質點組成的力學系統,若存在m個約束,則系統的自由度為S = 3N − m熱力學自由度

  熱力學中,自由度 F 是當系統為平衡狀態時,在不改變相的數目情況下,可獨立改變的因素(如溫度和壓力),這些變數的數目叫做自由度數。例如,液態水系統,可以再一定範圍內任意改變溫度和壓力,仍可保持單相的水不變,則該系統的自由度為2,記作F = 2。若系統是液態水與水蒸氣平衡共存,如果指定溫度,則系統壓力必須等於該溫度下的水的飽和蒸汽壓,否則系統中汽、液兩相就會有一相消失,這時壓力並不能任意選擇,故自由度數為1,即F = 1。也就是說,若系統保持汽-液共存的相態不變,溫度和壓力兩者中只能任意變動一個。因此自由度數實際上是系統的獨立變數數。
  系統的自由度跟其他變數的關係
  F = C - P + n
  其中 F:表示系統的自由度
  C :系統的獨立組元數(number of independent component)
  P :相態數目
  n :外界因素,多數取n=2,代表壓力和溫度;對於熔點極高的固體,蒸汽壓的影響非常小,可取n=1。

4 自由度 -三、工程機械

機構自由度

  根據機械原理,機構具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數的數目(亦即為了使機構的位置得以確定,必須給定的獨立的廣義坐標的數目),稱為機構自由度(degree of freedom of mechanism),其數目常以F表示。如果一個構件組合體的自由度F>0,他就可以成為一個機構,即表明各構件間可有相對運動;如果F=0,則它將是一個結構(structure),即已退化為一個構件。機構自由度又有平面機構自由度和空間機構自由度。 平面機構自由度:

  一個桿件(剛體)在平面可以由其上任一點A的坐標x和y,以及通過A點的垂線AB與橫坐標軸的夾角等3個參數來決定,因此桿件具有3個自由度。空間機構自由度:

  一個桿件(剛體),在空間上完全沒有約束,那麼它可以在3個正交方向上平動,還可以以三個正交方向為軸進行轉動,那麼就有6個自由度。自由度的計算:

  約束增加,自由度就減少,機構的自由度為組成桿件自由度之和減去運動副的約束。

5 自由度 -四、電子遊戲

  在當今時代的電子遊戲中,也有自由度這個概念,在高自由度的遊戲中,玩家可以不必一定要按照規定的路線進行。
  角色扮演遊戲是自由度最高的電子遊戲,玩家操作人物在地圖中可以向各個方向前進、做事,受到的拘束很少。
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