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1自然數集的性質

理論框架中的地位
在定義了自然數的大多數理論框架中,良序原理或者是其中一條公理,或者是一條可證的定理。
在皮亞諾算術系統、二階算術系統和其他一些相關的系統中,良序定理可以由歸納公理導出,而後者本身被看作基本公理。
在將自然數集看成實數集的一個子集時,若假定已知實數集是完備的(作為一條公理或定理),即其每個有下界的子集都有個最大下界,那麼每個自然數的子集A(有下界0)也必然有個最大下界a*。由此可以找到一個整數n*使得a*∈(n*-1,n*],之後可證必有a*=n*,且n*∈A。
在公理集合論中,自然數集定義為最小的歸納集合(包含0且包含本身中每個元素的後繼的集合),可以證明,所有滿足{0,...,n}為良序集的n組成的集合是一個歸納集合,從而是自然數集本身。由此可以推出自然數集本身也是個良序集。

意義

良序原理的意義主要在於,在證明時可以使用所謂的「最小反例法」,它相當於反證法和數學歸納法的結合。

2其他含義

在一些場合中,「良序原理」是「良序定理」的同義詞。見良序定理。

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