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艾森斯坦整數

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艾森斯坦整數是具有以下形式的複數:a+bω
其中ab是整數,且ω是三次單位根。
艾森斯坦整數在複平面上形成了一個三角形點陣。高斯整數則形成了一個正方形點陣。

1性質

艾森斯坦整數在代數數域Q(ω)中形成了一個代數數的交換環。每一個z=a+bω都是首一多項式的根。特別地,ω滿足以下方程:
因此,艾森斯坦整數是代數數。
艾森斯坦整數的范數是它的絕對值的平方,由以下的公式給出:
因此它總是整數。由於:
因此非零艾森斯坦整數的范數總是正數。
艾森斯坦整數環中的可逆元群,是複平面中六次單位根所組成的循環群。它們是:
{±1, ±ω, ±ω2}它們是范數為一的艾森斯坦整數。

2艾森斯坦素數

xy是艾森斯坦整數,如果存在某個艾森斯坦整數z,使得y=zx,則我們說x能整除y
它是整數的整除概念的延伸。因此我們也可以延伸素數的概念:一個非可逆元的艾森斯坦整數x是艾森斯坦素數,如果它唯一的因子是ux的形式,其中u是六次單位根的任何一個。
我們可以證明,任何一個被3除餘1的素數都具有形式xxy+y,因此可以分解為(xy)(xy)。因為這樣,它在艾森斯坦整數中不是素數。被3除餘2的素數則不能分解為這種形式,因此它們也是艾森斯坦素數。
任何一個艾森斯坦整數a+bω,只要范數aab+b為素數,那麼就是一個艾森斯坦素數。實際上,任何一個艾森斯坦整數要麼就是這種形式,要麼就是一個可逆元和一個被3除餘2的素數的乘積。

3歐幾里德域

艾森斯坦整數環形成了一個歐幾里德域,其范數N由以下的公式給出:
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