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芝諾(埃利亞) (Zeno of Elea)約公元前490年生於義大利半島南部的埃利亞;約公元前425年卒.數學、哲學.

1生平

芝諾生活在古代希臘的埃利亞城邦。他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德(Parmenides)的學生和朋友.關於他的生平,缺少可靠的文字記載。
柏拉圖在他的對話《巴門尼德》篇中,記敘了芝諾和巴門尼德於公元前5世紀中葉去雅典的一次訪問。其中說:「巴門尼德年事已高,約65歲;頭髮很白,但儀錶堂堂.那時芝諾約40歲,身材魁梧而美觀,人家說他已變成巴門尼德所鍾愛的了。」按照以後的
芝諾

  芝諾

希臘著作家們的意見,這次訪問乃是柏拉圖的虛構,然而柏拉圖在書中記述的芝諾的觀點,卻被普遍認為是相當準確的。
據信芝諾為巴門尼德的「存在論」辯護,但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是「一」不是「多」,是「靜」不是「動」,他常常用歸謬法從反面去證明:「如果事物是多數的,將要比是『一』的假設得出更可笑的結果。」他用同樣的方法,巧妙地構想出一些關於運動的論點。他的這些議論,就是所謂「芝諾悖論」。芝諾有一本著作《論自然》。
在柏拉圖的《巴門尼德》篇中,當芝諾談到自己的著作時說:「由於青年時的好勝著成此篇,著成后,人即將它竊去,以致我不能決斷,是否應當讓它問世。」
公元5世紀的評論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評註中說,芝諾從「多」和運動的假設出發,一共推出了40個各不相同的悖論。芝諾的著作久已失傳,亞里士多德的《物理學》和辛普里西奧斯(Simplici-us)為《物理學》作的註釋是了解芝諾悖論的主要依據,此外還有少量零星殘篇可提供佐證。現存的芝諾悖論至少有 8個,其中關於運動的4個悖論尤為著名。
關於芝諾之死,有一則廣為流傳但情節說法不一的故事說,芝諾因蓄謀反對埃利亞(另一說為敘拉古)的僭主,而被拘捕、拷打,直至處死。
芝諾(Zeno of Elea)生於義大利半島南部的埃利亞城邦,他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德的學生和朋友。
據說他在母邦度過了一生,僅在成名之後到過雅典。據傳說,芝諾因蓄謀反對埃利亞的君主而被處死。關於他的生平,缺乏可靠的文字記載。柏拉圖在他的對話《巴門尼德篇》中,記載了芝諾和巴門尼德於公元前5世紀中葉去雅典的一次訪問。其中有這樣的文字:「巴門尼德年事已高,約65歲;頭髮很白,但儀錶堂堂。那時的芝諾約40歲,身材魁梧而美觀,大家說他已經變成巴門尼德所鍾愛的了。」在以後的希臘著作家看來,這次訪問是柏拉圖虛構的。但柏拉圖有關芝諾觀點的記敘,卻被普遍認為是準確的。在柏拉圖的巴門尼德篇中,當芝諾談到自己的著作(論自然)時,這樣說道:「由於青年時的好勝著成此篇,著成后,人即將他竊去,以至我不能決斷,是否應當讓它問世。 」芝諾不象他的老師那樣企圖從正面去證明是一不是多,是靜不是動,他常常從反面即歸謬法來為「存在論」辯護。公元五世紀的評論家普羅克洛斯說過,芝諾從「 多」和運動的假設出發,一共推出了40個各不相同的悖論。現存的芝諾悖論至少有8個,其中關於運動的4個悖論最為著名。芝諾的著作早已失傳,亞里士多德的物理學和辛普里西奧斯為物理學作的註解是了解芝諾悖論的主要途徑,此外只有少量零散的文獻可作參考。
直到19 世紀中葉,亞里士多德關於芝諾悖論的引述及批評幾乎是權威的,人們普遍認為芝諾悖論不過是一些詭辯。英國數學家B.羅素感慨的說:「在這個變化無常的世界上,沒有什麼比死後的聲譽更變化無常了。死後得不到應有的評價的最典型例子莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明了四個無限微妙無限深邃的悖論,後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是個聰明的騙子,而他的悖論只不過是一些詭辯。遭到兩千多年的連續駁斥之後這些詭辯才得以正名,…。」19世紀下半葉以來,學者們開始重新研究芝諾。他們推測芝諾的理論在古代就沒能得到完整的、正確的報道,而是被詭辯家們用來倡導懷疑主義和否定知識,亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。目前,學者們對芝諾提出這些悖論的目的還不清楚,但大家一致認為,芝諾關於運動的悖論不是簡單的否認運動,這些悖論後面有著更深的內涵。亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意,從這個意義上來說,他功不可沒,但他對芝諾悖論的分析和批評是否成功,還不可以下定論。
有關芝諾悖論在古希臘數學發展中起到的作用,在科學史上眾說紛紜。P· 湯納利首先提出,不是巴門尼德而是畢達哥拉斯學派發現的不可公約量,對芝諾悖論的提出產生了深刻的影響。H·赫斯和H·斯科爾斯則認為芝諾是對古代數學的發展起決定影響的人物,他們試圖證明,畢達哥拉斯學派曾假定存在無限小的基本線段,想以此來克服因發現不可公約量而引起的矛盾,而芝諾的悖論反對了這種不準確的做法,從而迫使其他數學家去尋找真正的原因所在。另有一些學者持有完全不同的觀點,他們認為芝諾對那個時代的數學發展沒有作出任何重大的貢獻。不管爭論的結果如何,人們無須擔心芝諾的名字會從數學史上消失,就像美國數學史家E·T·貝爾說的,芝諾畢竟曾「以非數學的語言,記錄下了最早同連續性和無限性格鬥的人們所遭遇到的困難。」芝諾的功績在於把動和靜的關係、無限和有限的關係、連續和離散的關係惹人注意地擺了出來,並進行了辨證的考察。在哲學上,芝諾被亞里士多德譽為辯證法的發明人,黑格爾在他的哲學史演錄中指出:「芝諾主要是客觀的辨證的考察了運動,並稱芝諾為「辯證法的創始人」。

2思想

芝諾(約公元前336~約前264年)塞普勒斯島人,於公元前300年左右在雅典創立斯多葛學派,因芝諾在雅典意為「彩繪有頂柱廊」的畫廊講學,故稱之為畫廊學派或斯多葛派。芝諾是一個唯物主義者,他的學說大體上是犬儒主義與赫拉克利特的結合品;但是斯多葛學派則由於參入了柏拉圖主義而逐漸放棄了唯物主義。他重視物理學與形而上學,提出了宇宙決定論,但僅僅是因為它們有助於解釋德行,他認為重要的只是德行。
宇宙決定論
芝諾相信並沒有偶然這樣一種東西,自然的過程是嚴格地為自然律所決定的。
起初只有火;然後其它的元素——氣、水、土,就順序逐漸形成了。但是遲早終將有一場宇宙大燃燒,於是一切又變成火。按照大多數斯多葛派的說法,這場火併不是最後的終結,像是基督教學說中所說的世界末日那樣,而只是一度循環的結束;整個的過程將是永無休止的重演。現在所出現的萬物以前就曾經出現過,而且將來還要出現,並不是一次而是無數次。
自然過程是被一個「立法者」所規定的,而這個「立法者」同時也就是一個仁慈的天意。整個宇宙知道最為微小的細節,都是被設計成要以自然的手段達到某種目的的。這些目的,除了色即到神鬼的而外,都可以在人生中找到。
萬物都有一個與人類相關聯的目的。至高無上的威力叫做「神」或「宙斯」。「神」與世界是分不開的;他就是世界的靈魂,而我們每個人都包含有一部分神聖的火。一切事物都是那個叫做「自然」的單一體系的各個部分;個體的生命當與「自然」相和諧的時候,就是好的。
就一種意義來說,每一個生命都與「自然」和諧,因為它的存在正是自然律所造成的;但是就另一種意義來說,則唯有當個體意志的方向是朝著屬於整個「自然」的目的之內的那些目的時,人的生命才是與「自然」相調和的。

3悖論

下面來考察芝諾關於運動的4個悖論。引號內的是亞里士多德的《物理學》中的原話,前面的小標題是為了便於研究加上的。
追龜說
阿基里斯(Achilles,並非荷馬史詩《伊里亞特》中的英雄阿基里斯,而是古希臘奧運會中的一名長跑冠軍)追龜說。
「這個論點的意思是說:一個跑得最快的人永遠追不上一個跑得最慢的人。因為追趕者首先必須跑到被追者的起跑點,因此走得慢的人永遠領先。」伯內特解釋說,當阿基里斯到達烏龜的起跑點時,烏龜已經走在前面一小段路了,阿基里斯又必須趕過這一小段路,而烏龜又向前走了。這樣,阿基里斯可無限接近它,但不能追到它。
亞里士多德指出這個論證和前面的二分法是一回事。「區別只在於:這裡加上的距離不是用二分法劃分的.由這個論證得到的結論是:跑得慢的人不可能被趕上、而這個結論是根據和二分法同樣的原理得到的——因為在這兩個論證里得到的結論都是因為無論以二分法還是以非二分法取量時都達不到終結。在第二個論證里說最快的人也追不上最慢的人,這樣說只是把問題說得更明白些罷了——因此,對這個論證的解決方法也必然是同一個方法。認為在運動中領先的東西不能被追上這個想法是錯誤的.因為在它領先的時間內是不能被趕上的,但是,如果芝諾允許它能越過所規定的有限的距離的話,那麼它也是可以被趕上的.」
運動場
「第四個是關於運動場上運動物體的論點:跑道上有兩排物體,大小相同且數目相同,一排從終點排到中間點,另一排從中間點排到起點。它們以相同的速度沿相反方向作運動.芝諾認為從這裡可以說明:一半時間和整個時間相等」.亞里士多德接著指出:「這裡錯誤在於他把一個運動物體經過另一運動物體所花的時間,看做等同於以相同速度經過相同大小的靜止物體所花的時間。事實上這兩者是不相等的,」他的證明可用下面的圖解來表示,其中A,B,C代表大小相同的物體.
A A A A A A A A
B B B B—→ B B B B—→
←— C C C C  ←—C C C C
AAAA為一排靜止物體,而BBBB和CCCC分別代表以相同速度作相反方向運動的物體,於是當第一個B到達最末一個C的同時,第一個C也達到了最末一個B,這時第一個C已經經過了所有的B,而第一個B只經過了所有的A中的一半,因為經過每個物體的時間是相等的,所以一半時間和整個時間相等。這個錯誤結論是從上述錯誤假定得出的。

4研究

分析
芝諾認為存在若是「多」就會導致無窮的論證,也表達在另一個悖論里。它被辛普里西奧斯至少是部分地逐字逐句記述下來.這些記述不象阿基里斯追龜說和飛箭靜止說那樣經後人或多或少地修改過,雖然表達得沒有那麼清楚,但是卻更接近於芝諾的原話。
辛普里西奧斯在他的引言里說,芝諾首先論證既無「大小」又無厚度的東西是不能存在的。「因為如果這樣,它加在某物之上不能使其變大,從某物減去也不能使其變小。但是,如果不能因增加它而使一物增大,也不能因減少它而使一物減小,這就明顯地看出,所增加或所減少的是零。」接著就逐字引用以下一段:
如果是這樣,它就必須每一個部分與別的部分有一定的距離。對於位於這一部分前面的那個部分也是如此.那個部分也會有大小,也會有位於其前面的部分。依此類推,永無止境。這樣,它的任何一個部分都不會是最外面的邊界,也不會有任何一個部分不分割為其它部分。所以,如果存在是多,那麼它必然既是小的又是大的:小會小到沒有大小,大會大到無窮。
這段引文比較費解,特別是他只逐字引用了後半部分,以證明大會大到無窮。至於證明小會小到沒有大小,芝諾依據的是物體的無限可分性,由此假定出發,他容易證明隨著分割的繼續,各部分越來越小,以至將會小到沒有止境。如果有一個最後元素,那就只能是沒有大小的「無」。因此,把任意數目的這些「無」元素加在任何東西上都不會使它增大,反之從任何東西里減去它們也不會使它變小;當然,把這些「無」元素通通加起來,即使其數目有無限多個,其總和還是「無」。
上述悖論和關於運動的前三個悖論的共同點,在於假定了空間、時間和物體的無限可分性,實際上還討論了無窮小和連續性。
結論
他把只含有一個點的子區間定義為退化子區間,從而得出下列結論:
1)有限區間(a,b)是退化子區間的連續統的並集;
2)每個退化子區間的長度是零;
3)區間(a,b)的長度是b—a;
4)一個區間的長度不是它的基數的函數。
因此,芝諾的假設ii)不能成立。事實上,將一個線段(或別的量)按二分法進行無限分割,不可能有最後元素。因為既是無限分割,它就是一個沒有最後一項的永遠不能完成的過程。在取極限的意義上,按結論1),有限區間(a,b)成為不可數的無限個退化子區間的並集,這時雖然每個退化子區間(或每個點)的長度為0,但整個並集的長度不是0,而是b—a(按結論3))。這樣,作為對芝諾和亞里士多德的回答,時間和距離都是作為無長度元素(點)的無窮集合的線性連續統。換言之,線段是點的無窮集合,而時間是無廣延的瞬刻的無窮集合,它們都是線性連續統.這樣,飛箭靜止說這一悖論,原來指在任一給定的瞬刻是不動的但在由無限多瞬刻組成的連續體上卻是動的,現在轉換成一個新的「悖論」:由無廣延的點組成的無窮集卻有廣延。
關於運動場悖論,值得指出的是,這是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題。在現存的芝諾悖論中,它是唯一的和連續統問題無關的問題。不過也有學者(例如P.湯納利等人)認為它和連續統問題是有著某種聯繫的。
這樣,我們一共討論了六個芝諾悖論。在古代傳說中保存下來的還有另外幾個據信是屬於芝諾的悖論,由於內容不那麼深刻,也比較容易解決,這裡就不作介紹了。

5影響

芝諾因其悖論而著名,並因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數學史家F.卡約里(Cajori)說,「芝諾悖論的歷史,大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。」 但遺憾的是,芝諾的著作沒有能流傳下來,我們是通過批評他的亞里士多德及其註釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。
直到19世紀中葉,人們對於亞里士多德關於芝諾悖論的引述及批評幾乎是深信不疑的,普遍認為芝諾悖論只不過是一些有趣的謬見。
英國數學家B.羅素(Russell)感慨地說:「在這個變化無常的世界上,沒有什麼比死後的聲譽更變化無常了.死後得不到應有的評價的最顯眼的犧牲品莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明了4個無限微妙、無限深邃的悖論,後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是一個聰明的騙子,而他的悖論只不過是一些詭辯。遭到兩千多年的連續駁斥之後,這些「詭辯」才得以正名,…。」
19世紀下半葉以來,學者們開始重新研究芝諾.他們推測芝諾的理論在古代就沒有得到完整的、正確的報道,而是被詭辯家們用作倡導懷疑主義和否定知識的工具,從而背離了芝諾的真正宗旨。而亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。
然而,迄今為止,學者們還找不出可靠的證據足以推翻亞里士多德和辛普里西奧斯關於芝諾悖論的記述。由於目前對希臘哲學史了解得還不夠,對於芝諾提出這些悖論的目的何在尚不清楚。比較一致的意見是:芝諾關於運動的悖論並不是簡單地否認運動,芝諾責難「多」也不是簡單地把兩隻羊說成一隻羊。在這些悖論後面有著更深層的內涵.亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意,功不可沒,但是他對於芝諾悖論的分析和批評並非十分成功,是值得重新研究的。
關於芝諾悖論對於古代希臘數學發展的重要性,在科學史學者中的意見是很不一致的.P.湯納利首先提出,芝諾和巴門尼德哲學的關係並不如古代傳說中所肯定的那樣密切.相比之下,因畢達哥拉斯學派發現不可公度量而出現的一些問題,對於芝諾具有更加深刻的影響。
基於同樣的假設,H.赫斯(Hasse)和H.斯科爾斯(Scholz)想把芝諾說成是對古代數學的發展方向起決定影響的人物。他們試圖證明,畢達哥拉斯學派曾假定存在無限小的基本線段(初等線段),想以此來克服因發現不可公度量而引起的困難。芝諾所反對的正是這種處理無窮小的不準確的做法,從而迫使下一代的畢達哥拉斯學派的數學家去探求更好、更準確的基礎。另有一些學者持有完全不同的意見.B.L.范德瓦爾登(van der Waerden)指出,我們已知的關於公元前五世紀下半葉的數學理論——不可公度量的發現無疑是那個時代作出的——並不支持芝諾曾經對那個時代的數學發展作過任何重大貢獻的說法。

6功績

雖然芝諾時代已經過去二千四百多年了,但是圍繞芝諾的爭論還沒有休止。不論怎樣,人們無須擔心芝諾的名字會從數學史上一筆勾銷.正如美國數學史家E.T.貝爾(Bell)所說,芝諾畢竟曾「以非數學的語言,記錄下了最早同連續性和無限性格鬥的人們所遭遇到的困難。
」芝諾的功績在於把動和靜的關係、無限和有限的關係、連續和離散的關係惹人注意地擺了出來,並進行了辯證的考察.雖然不能肯定他對古典希臘數學的發展有無直接的重要影響,但是有一點決不是偶然的巧合:柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇的時候,因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點,芝諾也是書中的主角之一,因此在柏拉圖學園中很自然地熱烈討論起芝諾悖論來。當時歐多克索斯(Eudoxus)正在柏拉圖學園中攻讀和研究數學與哲學。歐多克索斯在稍後的時間裡創立了新的比例論(《幾何原本》第五卷中的主要內容),從而克服了因發現不可公度量而出現的數學危機;並完善了窮竭法,巧妙地處理了無窮小問題。因此,在希臘數學發展的這個關鍵時刻,很難說芝諾沒有對它的發展作出過有意義的貢獻。
芝諾在哲學上被亞里士多德譽為辯證法的發明人。黑格爾在他的《哲學史講演錄》中指出:「芝諾主要是客觀地辯證地考察了運動」,並稱芝諾是「辯證法的創始人」。
芝諾
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