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華林問題
Waring's problem
數論中的一個問題。1770年,E.華林推測:每個正整數是4個平方數之和,9個立方數之和,19個4次方數之和等等。也就是說,他認為對任意給定的正整數k≥2,必有一個正整數S(k)存在,使得每個正整數n必是S(k)個非負的k次方數之和。華林自己猜測 g(2)=4, g(3)=9, g(4)=19. 1909年,D.希爾伯特用複雜的方法證明了S(k)的存在性,首先解決了華林提出的這一猜想。其中用了含有25重積分的恆等式。其後,U.V.林尼克於1943年給出了S(k)存在性的另一個證明。中國數學家華羅庚也曾研究過華林問題,除此,陳景潤也在研究華林問題上改進了中外數學家的結果。
著名的拉格朗日四平方定理,指出g(2)=4,而且除了4^n(8k+7) 型的數外,這個數字還可以減少為3.1909, Wieferich 證明了g(3)=9. 1859年, Liouville 證明了g(4)<=53. Hardy,和Little 改進為g(4)<=21, 最終 Balasubramanian (1986)確定g(4)=19 . 事實上有個著名的猜想給出了g(k)的一切值。
既g(k)=2^k+[1.5^k]-2
由於g(k)嚴重依賴於開始的一些例外情況,在反映整數的序列性質方面不夠深刻,作為華林問題的推廣,有定義G(k)為對於足夠大的數分解為k次冪和的最小項數.這比g(k)的確定難很多,甚至至今尚不知道g(3)的值.
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