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萬有引力公式

標籤:物理 力學

萬有引力是由於物體具有質量而在物體之間產生的一種相互作用。它的大小和物體的質量以及兩個物體之間的距離有關。物體的質量越大,它們之間的萬有引力就越大;物體之間的距離越遠,它們之間的萬有引力就越小。
兩個可看作質點的物體之間的萬有引力,可以用以下公式計算:F=GmM/r²,即 萬有引力等於引力常量乘以兩物體質量的乘積除以它們距離的平方。其中G代表引力常量,其值約為 6.67×10ˆ‐11 單位 N·m² /kg²。為英國科學家 卡文迪許通過扭秤實驗測得。
萬有引力的推導:若將行星的軌道近似的看成圓形,從開普勒第二定律可得行星運動的角速度是一定的,即:
ω=2π/T(周期)
如果行星的質量是m,離太陽的距離是r,周期是T,那麼由運動方程式可得,行星受到的力的作用大小為
mrω²=mr(4π²)/T²
另外,由開普勒第三定律可得
r³/T²=常數k′
那麼沿太陽方向的力為
mr(4π²)/T²=mk′(4π²)/r²
由作用力和反作用力的關係可知,太陽也受到以上相同大小的力。設太陽的質量為M,從太陽的角度看,
M(k″)(4π²)/r²
是太陽受到沿行星方向的力。因為是相同大小的力,由這兩個式子比較可知,k′包含了太陽的質量M,k″包含了行星的質量m。由此可知,這兩個力與兩個天體質量的乘積成正比,與兩個天體距離的平方成反比。如果引入一個新的常數G(稱萬有引力常數),那麼可以表示為
萬有引力=GmM/r² 兩個通常物體之間的萬有引力極其微小,我們察覺不到它,可以不予考慮。比如,兩個質量都是60千克的人,相距0.5米,他們之間的萬有引力還不足百萬分之一牛頓,而一隻螞蟻拖動細草梗的力竟是這個引力的1000倍!但是,天體系統中,由於天體的質量很大,萬有引力就起著決定性的作用。在天體中質量還算很小的地球,對其他的物體的萬有引力已經具有巨大的影響,它把人類、大氣和所有地面物體束縛在地球上,它使月球和人造地球衛星繞地球旋轉而不離去。
當在某星球表面作圓周運動時,可將萬有引力看作重力,既有mg=GmM/(r²) ,此時有GM=gr²,為黃金代換公式。且有GmM/r²=mv²/r=mrω²=4π²mr/T²=mg。(此結論僅用於星球表面)
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