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蒙特卡羅模擬

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當科學家們使用計算機來試圖預測複雜的趨勢和事件時, 他們通常應用一類需要長串的隨機數的複雜計算。設計這種用來預測複雜趨勢和事件的數字模型越來越依賴於一種稱為蒙特卡羅模似的統計手段, 而這種模擬進一步又要取決於可靠的無窮盡的隨機數目來源。
蒙特卡羅模擬因摩納哥著名的賭場而得名。它能夠幫助人們從數學上表述物理、化學、工程、經濟學以及環境動力學中一些非常複雜的相互作用。數學家們稱這種表述為「模式」, 而當一種模式足夠精確時, 他能產生與實際操作中對同一條件相同的反應。但蒙特卡羅模擬有一個危險的缺陷: 如果必須輸入一個模式中的隨機數並不像設想的那樣是隨機數, 而卻構成一些微妙的非隨機模式, 那麼整個的模擬(及其預測結果)都可能是錯的。
最近, 由美國喬治亞大學的費倫博格博士作出的一分報告證明了最普遍用以產生隨機數串的計算機程序中有5個在用於一個簡單的模擬磁性晶體中原子行為的數學模型時出現錯誤。科學家們發現, 出現這些錯誤的根源在於這5個程序產生的數串其實並不隨機, 它們實際上隱藏了一些相互關係和樣式, 這一點只是在這種微小的非隨機性歪曲了晶體模型的已知特性時才表露出來。貝爾實驗室的里德博士告誡人們記住偉大的諾伊曼的忠告:「任何人如果相信計算機能夠產生出真正的隨機的數序組都是瘋子。」

1 蒙特卡羅(Monte Carlo)方法

蒙特卡羅(Monte Carlo)方法,又稱隨機抽樣或統計試驗方法,屬於計算數學的一個分支,它是在本世紀四十年代中期為了適應當時原子能事業的發展而發展起來的。傳統的經驗方法由於不能逼近真實的物理過程,很難得到滿意的結果,而蒙特卡羅方法由於能夠真實地模擬實際物理過程,故解決問題與實際非常符合,可以得到很圓滿的結果。這也是我們採用該方法的原因。

2基本原理及思想

當所要求解的問題是某種事件出現的概率,或者是某個隨機變數的期望值時,它們可以通過某種「試驗」的方法,得到這種事件出現的頻率,或者這個隨機變數的平均值,並用它們作為問題的解。這就是蒙特卡羅方法的基本思想。蒙特卡羅方法通過抓住事物運動的幾何數量和幾何特徵,利用數學方法來加以模擬,即進行一種數字模擬實驗。它是以一個概率模型為基礎,按照這個模型所描繪的過程,通過模擬實驗的結果,作為問題的近似解。可以把蒙特卡羅解題歸結為三個主要步驟:構造或描述概率過程;實現從已知概率分佈抽樣;建立各種估計量。

3蒙特卡羅解題三個主要步驟:

2.實現從已知概率分佈抽樣:
構造了概率模型以後,由於各種概率模型都可以看作是由各種各樣的概率分佈構成的,因此產生已知概率分佈的隨機變數(或隨機向量),就成為實現蒙特卡羅方法模擬實驗的基本手段,這也是蒙特卡羅方法被稱為隨機抽樣的原因。最簡單、最基本、最重要的一個概率分佈是(0,1)上的均勻分佈(或稱矩形分佈)。隨機數就是具有這種均勻分佈的隨機變數。隨機數序列就是具有這種分佈的總體的一個簡單子樣,也就是一個具有這種分佈的相互獨立的隨機變數序列。產生隨機數的問題,就是從這個分佈的抽樣問題。在計算機上,可以用物理方法產生隨機數,但價格昂貴,不能重複,使用不便。另一種方法是用數學遞推公式產生。這樣產生的序列,與真正的隨機數序列不同,所以稱為偽隨機數,或偽隨機數序列。不過,經過多種統計檢驗表明,它與真正的隨機數,或隨機數序列具有相近的性質,因此可把它作為真正的隨機數來使用。由已知分佈隨機抽樣有各種方法,與從(0,1)上均勻分佈抽樣不同,這些方法都是藉助於隨機序列來實現的,也就是說,都是以產生隨機數為前提的。由此可見,隨機數是我們實現蒙特卡羅模擬的基本工具。

3.建立各種估計量:

一般說來,構造了概率模型並能從中抽樣后,即實現模擬實驗后,我們就要確定一個隨機變數,作為所要求的問題的解,我們稱它為無偏估計。建立各種估計量,相當於對模擬實驗的結果進行考察和登記,從中得到問題的解。

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