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薛定諤方程是由奧地利物理學家薛定諤在1926年提出的量子力學中的一個基本方程,也是量子力學的一個基本假定,其正確性只能靠實驗來檢驗。它揭示了微觀物理世界物質運動的基本規律,就像牛頓定律在經典力學中所起的作用一樣,它是原子物理學中處理一切非相對論問題的有力工具,在原子、分子、固體物理、核物理、化學等領域中被廣泛應用。

1 薛定諤方程 -定義

薛定諤方程波函數

薛定諤方程是一個用於描述量子力學中波函數的運動方程。是量子力學的奠基理論之一。

2 薛定諤方程 -內容

薛定諤方程氫原子的薛定諤方程。

薛定諤方程的英語是Schrödinger equation,是由奧地利物理學家薛定諤在1926年提出。

薛定諤方程主要分為含時薛定諤方程與不含時薛定諤方程。

含時薛定諤方程相依於時間,專門用來計算一個量子系統的波函數,怎樣隨著時間演變。

不含時薛定諤方程不相依於時間,可以計算一個定態量子系統,對應於某本徵能量的本徵波函數。

波函數又可以用來計算,在量子系統里,某個事件發生的概率幅。而概率幅的絕對值的平方,就是事件發生的概率密度。

3 薛定諤方程 -解釋

清楚地描述量子系統里,量子尺寸粒子的統計性量子行為。量子尺寸的粒子包括基本粒子,像電子、質子、正電子、等等,與一組相同或不相同的粒子,像原子核。

4 薛定諤方程 -轉換

薛定諤方程可以轉換為海森堡的矩陣力學,或費曼的路徑積分表述(path integral formulation)。薛定諤方程是個非相對論性的方程,不能夠用於相對論性理論。海森堡表述比較沒有這麼嚴重的問題;而費曼的路徑積分表述則完全沒有這方面的問題。

5 薛定諤方程 -背景資料

波粒二象性

愛因斯坦詮釋普朗克的量子為光子,光波的粒子;也就是說,光波具有粒子的性質,一種很奇奧的波粒二象性。他建議光子的能量與頻率成正比。在相對論里,能量與動量之間的關係跟頻率與波數之間的關係相同,所以,連帶地,光子的動量與波數成正比。

1924年,路易·德布羅意提出一個驚人的假設,每一種粒子都具有波粒二象性。電子也有這種性質。電子是一種波動,是電子波。電子的能量與動量決定了它的物質波的頻率與波數。1927年,柯林頓·戴維孫和雷斯特·革末將緩慢移動的電子射擊於鎳晶體標靶。然後,測量反射的強度,偵測結果與X射線根據布拉格定律 (Bragg's law) 計算的衍射圖案相同。戴維森-革末實驗徹底的證明了德布羅意假說。

波動方程

薛定諤夜以繼日地思考這些先進理論,既然粒子具有波粒二象性,應該會有一個反應這特性的波動方程,能夠正確地描述粒子的量子行為。於是,薛定諤試著尋找一個波動方程。哈密頓先前的研究引導著薛定諤的思路,在牛頓力學與光學之間,有一種類比,隱蔽地暗藏於一個察覺里。這察覺就是,在零波長極限,實際光學系統趨向幾何光學系統;也就是說,光射線的軌道會變成明確的路徑,遵守最小作用量原理。哈密頓相信,在零波長極限,波傳播會變為明確的運動。可是,他並沒有設計出一個方程來描述這波行為。這也是薛定諤所成就的。他很清楚,經典力學的哈密頓原理,廣為學術界所知地,對應於光學的費馬原理。借著哈密頓-雅可比方程,他成功地創建了薛定諤方程。薛定諤用自己設計的方程來計算氫原子的譜線,得到了與用玻爾模型計算出的能級相同的答案。

但是,薛定諤對這結果並不滿足,因為,索末菲似乎已經正確地計算出氫原子光譜線精細結構常數的相對論性的修正。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式,來尋找一個相對論性方程(現今稱為克萊因-高登方程),可以描述電子在庫侖位勢內的量子行為。薛定諤計算出這方程的定態波函數。可是,相對論性的修正與索末菲的公式有分歧。雖然如此,他認為先前非相對論性的部分,仍舊含有足夠的新結果。因此,決定暫時不發表相對論性的修正,只把他的波動方程與氫原子光譜分析結果,寫為一篇論文。1926年,正式發表於物理學界。從此,給予了量子力學一個新的發展平台。

薛定諤方程漂亮地解釋了如圖示

薛定諤方程圖示

的行為,但並沒有解釋如圖示的意義。薛定諤曾嘗試解釋如圖示代表電荷的密度,但卻失敗了。1926年,就在薛定諤第四篇的論文發表之後幾天,馬克斯·玻恩提出概率幅的概念,成功地解釋如圖示的物理意義。可是,薛定諤本人一直不承認這種統計或概率的表示方法,和它所伴隨的非連續性波函數坍縮。就像愛因斯坦的認為量子力學是基本為確定性理論的統計近似,薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年,他寫給馬克斯·玻恩的一封信內,薛定諤清楚地表明了這看法。

6 薛定諤方程 -簡介

應用

量子力學中求解粒子問題常歸結為解薛定諤方程或定態薛定諤方程。薛定諤方程廣泛地用於原子物理、核物理和固體物理,對於原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結果都與實際符合得很好。   

薛定諤方程僅適用於速度不太大的非相對論粒子,其中也沒有包含關於粒子自旋的描述。當計及相對論效應時,薛定諤方程由相對論量子力學方程所取代,其中自然包含了粒子的自旋。   

本徵方程

量子力學基本方程是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律,它在量子力學中的地位相當於牛頓定律對於經典力學一樣,是量子力學的基本假設之一。設描述微觀粒子狀態的波函數為Ψ(r,t),質量為m的微觀粒子在勢場V(r,t)中運動的薛定諤方程為。在給定初始條件和邊界條件以及波函數所滿足的單值、有限、連續的條件下,可解出波函數Ψ(r,t)。由此可計算粒子的分佈概率和任何可能實驗的平均值(期望值)。當勢函數V不依賴於時間t時,粒子具有確定的能量,粒子的狀態稱為定態。定態時的波函數可寫成式中Ψ(r)稱為定態波函數,滿足定態薛定諤方程,這一方程在數學上稱為本徵方程,式中E為本徵值,是定態能量,Ψ(r)又稱為屬於本徵值E的本徵函數。薛定諤方程">[2]      

7 薛定諤方程 -人物簡介

薛定諤方程埃爾溫·薛定諤
薛定諤

薛定諤不僅是奧地利傑出的理論物理學家,諾貝爾獎獲得者,分子生物學的奠基人,而且還作為一個抒情詩人在語言的藝術中展露鋒芒。

薛定諤生於維也納,1910年取得維也納大學博士學位。先後在維也納,蘇黎世等地任教。1926年將法國人德布羅意的物質波觀念用數學表示,得到量子力學中最基本的薛定諤方程式即著名的波動方程,因而獲1933年諾貝爾物理學獎。

1944年,薛定諤以廣博的知識作基礎和敏銳的洞察力,將物理學新理論應用到生物學中,出版了通俗讀物《生命是什麼》。書中用新觀點解釋複雜的生命現象,開創了物理學和生命科學相結合的新天地。由於薛定諤在物理學界的巨大影響,這本書受到廣泛的關注,被譽為「喚起生物學革命的小冊子」。沃森、克里克正是在這本書的影響下開始進行DNA結構研究的。

薛定諤1949年曾出版過一本詩集,在這本詩集種,除了他自己用德文和英文寫的詩之外,還編入了英國抒情詩的譯文。從下面一首詩可以看出薛定諤的風格和才華。

詩歌

「葡萄飽含著汁液鮮美而香甜,
在那山前,它現出目光深沉的容顏。
太陽在八月蔚藍色的天空里,
發熱、燃燒著,讓冷颼颼的山風消散。
紫色的野果把紅日引到身邊:
請嘗一嘗串串的果兒饋贈的香甜。
汁液沿太陽的血管緩緩流動,
它蘊藏著給你和他人的歡樂無限。
啊!已臨近歲暮,那成熟之年,
夜晚降臨了,帶來的是凜冽嚴寒。
雲兒在高空飄浮,在那日出之前,
寒霜覆蓋網一般的別緻的藤蔓。」

8 薛定諤方程 -正文

微觀系統的狀態由波函數Ψ(rt)描寫,薛定諤方程是波函數Ψ(r,t)的一個微分方程,它的形式為

薛定諤方程

式中μ是粒子的質量,U(r,t)是粒子所在力場的勢函數。
薛定諤方程是E.薛定諤在1926年提出來的。在給定的初始條件(系統的初狀態)和邊界條件下,即可解出系統的波函數Ψ(r,t)。量子力學要求,波函數Ψ(r,t)不單是滿足薛定諤方程,還必須滿足以下條件:波函數在變數變化的全部區域內是單值的,除有限個點外是有限的和連續的。這個條件常被稱為波函數的標準條件。
當勢函數U(r,t)與時間t無關時,薛定諤方程的解就可以寫成

薛定諤方程

的形式。式中Ψ(r)滿足定態薛定諤方程

薛定諤方程

E為系統的能量。

9 薛定諤方程 -數學形式

 

薛定諤方程薛定諤波動方程

這是一個二階線性偏微分方程,ψ(x,y,z)是待求函數,它是x,y,z三個變數的複數函數(就是說函數值不一定是實數,也可能是虛數)。式子最左邊的倒三角是一個算符,意思是分別對ψ(x,y,z)的x,y,z坐標求偏導的平方和。
物理含義
這是一個描述一個粒子在三維勢場中的定態薛定諤方程。所謂勢場,就是粒子在其中會有勢能的場,比如電場就是一個帶電粒子的勢場;所謂定態,就是假設波函數不隨時間變化。其中,E是粒子本身的能量;U(x,y,z)是描述勢場的函數,假設不隨時間變化。薛定諤方程有一個很好的性質,就是時間和空間部分是相互分立的,求出定態波函數的空間部分后再乘上時間部分e^(-t*i*2π/h)以後就成了完整的波函數了。
薛定諤方程的解——波函數的性質
1.雖然任意給定的E都可以解出一個函數解,但只有滿足一定條件的分立的一些E值才能給出有物理意義的波函數;   2.由於薛定諤方程是一個線性微分方程,所以任意幾個解的線性組合還是薛定諤方程的解。

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